Soluzioni
  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per il criterio di convergenza assoluta, sappiamo che se una serie converge assolutamente (cioè converge la serie dei moduli) allora converge la serie iniziale. Questa è una condizione sufficiente di convergenza ma non necessaria.

    Qui però non serve cercare scorciatoie :) puoi applicare direttamente il criterio di Leibniz, per il quale scrivendo la serie nella forma

    \sum_{n=1}^{+\infty}{(-1)^n a_{n}}

    se la successione \{a_{n}\} è tale da:

    1) essere monotona non crescente

    2) avere limite zero per n tendente a infinito

    allora la serie a segni alterni considerata converge.

    Studiamo quindi la convergenza della serie con il criterio di Leibniz:

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\sin{\left[(2n+1)\frac{\pi}{2}\right]}}{(2n+1)^2}}

    Osserviamo che

    \sin{\left[(2n+1)\frac{\pi}{2}\right]=(-1)^n

    quindi la serie si può scrivere come

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}}

    entrambe le ipotesi di Leibniz sono soddisfatte:

    \frac{1}{(2n+1)^2}\leq\frac{1}{(2(n+1)+1)^2}

    infatti più grande è n più grande è il denominatore (il numeratore è costante!) ed inoltre

    \frac{1}{(2n+1)^2}\rightarrow 0\mbox{ per }n\rightarrow +\infty

    Quindi la serie converge

    Risposta di Omega
  • E' sbagliato porre t=2n+1 ?

    Risposta di leoncinakiara
  • La sostituzione è completamente fuorviante e te la sconsiglio perché ti complichi la vita inutilmente.

    È evidente che 2n+1 è un intero dispari comunque prendi n, quindi tutti gli angoli

    (2n+1)\frac{\pi}{2}\equiv \frac{\pi}{2}\mbox{, }\frac{3\pi}{2}

    angoli in cui il seno vale rispettivamente +1 e -1.

    Puoi applicare, naturalmente, il criterio di convergenza assoluta e nella mia risposta intendevo dire: o convergenza assoluta o Leibniz. Con la convergenza assoluta ti riconduci, mediante il criterio del confronto ed una opportuna maggiorazione del termine della serie, alla serie armonica generalizzata.

    In ogni caso hai convergenza, ma lascia perdere la sostituzione. Wink

    Namasté! 

    Risposta di Omega
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