Convergenza uniforme e continuità
Salve non riesco a capire un esercizio sulla continuità e sulla convergenza uniforme di una successione di funzione. Senza scendere nei dettagli, ho come limite puntuale la funzione
Nell'esercizio (svolto) ho una successione di funzioni continue, e mi si dice che essendo il limite 
una funzione non continua non ci può essere convergenza uniforme. Sull'intervallo [0,1/2], invece, dimostra che c'è convergenza uniforme. Come mai succede una cosa del genere?
Ciao Danilo, arrivo a risponderti...
Il limite di convergenza puntuale non è una funzione continua perché è una funzione estesa, cioè definita a tratti, come
Come potrebbe una tale funzione essere continua? [occhio che il limite di convergenza puntuale è una sola funzione] Ha un salto in corrispondenza del punto x=1...
Ciò è in completo accordo con il risultato che asserisce che, data una successione di funzioni continue convergenti uniformemente ad una funzione limite, ne risulta che li funzione limite è una funzione continua. In particolare, nota che sull'intervallo [0,1] NON hai convergenza uniforme, ma su [0,1/2] sì.
La convergenza uniforme è prepotentemente dipendente dall'intervallo su cui consideri le funzioni della successione.
Namasté!
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