Metodo per la classificazione delle coniche

Question

Avrei bisogno che qualcuno mi spiegasse come si classificano le coniche. Ho capito che si devono calcolare le matrici associate alla conica e che la classificazione avviene in base ai loro determinanti e ai loro ranghi. È corretto? Vorrei inoltre una mano per risolvere il seguente problema. Grazie. Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano Oxy sul piano, classificare la conica mathrmC di equazione: mathrmC: x^2+3x y+2y^2+x+2y = 0

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

In generale data l'equazione di una conica , espressa in coordinate non omogenee

è possibile associarle due matrici simmetriche:

- la matrice dei coefficienti di , o semplicemente matrice della conica

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)]

- la matrice dei termini quadratici ottenuta sopprimendo la terza riga e la terza colonna di

In base al determinante della matrice dei coefficienti , la conica può essere classificata in:

- conica degenere, se il determinante di è nullo;

- conica non degenere o generale, se il determinante di è non nullo.

Nel caso in cui la conica sia degenere, vi è un'ulteriore classificazione:

- se il rango della matrice dei coefficienti è uguale a 1, , diremo che è una conica doppiamente degenere.

- Se il rango della matrice dei coefficienti è pari a due, , la conica è semplicemente degenere e in particolare se il determinante della matrice dei termini quadratici, è:

• se , allora l'equazione descrive due rette immaginarie coniugate e non parallele;

• se , allora l'equazione descrive due rette parallele reali e distinte oppure immaginarie coniugate;

• se , allora l'equazione descrive due rette reali e non parallele.

Se la conica è non degenere, o generale, il determinante della matrice dei termini quadratici consente la seguente classificazione:

• se , l'equazione descrive un'ellisse;

• se , l'equazione descrive una parabola;

• se , l'equazione descrive un'iperbole.

Questo è tutto ciò che serve per classificare una conica.

Esaminiamo l'equazione della conica

ed elenchiamo i suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in è ;

- il coefficiente del termine in è , da cui ;

- il termine noto è infine .

Le matrici associate a sono quindi:

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)] = [1 (3)/(2) (1)/(2) ; (3)/(2) 2 1 ; (1)/(2) 1 0] ; A_(33) = [a_(11) a_(12) ; a_(12) a_(22)] = [1 (3)/(2) ; (3)/(2) 2]

Usando la regola di Sarrus, scopriamo che il determinante della matrice è nullo

per cui è una conica degenere.

Per capire di che conica si tratta calcoliamo il determinante della matrice

Poiché il determinante di è diverso da zero, il suo rango è pari a 2

e quindi è una conica semplicemente degenere. Inoltre, essendo

descrive due rette reali e non parallele.

Abbiamo finito!