Soluzioni
  • In generale data l'equazione di una conica \mathrm{C}, espressa in coordinate non omogenee

    \mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

    è possibile associarle due matrici simmetriche:

    - la matrice dei coefficienti di \mathrm{C}, o semplicemente matrice della conica

    A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}

    - la matrice dei termini quadratici A_{33} ottenuta sopprimendo la terza riga e la terza colonna di A

    A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}

    In base al determinante della matrice dei coefficienti A, la conica può essere classificata in:

    - conica degenere, se il determinante di A è nullo;

    - conica non degenere o generale, se il determinante di A è non nullo.

    Nel caso in cui la conica sia degenere, vi è un'ulteriore classificazione:

    - se il rango della matrice dei coefficienti è uguale a 1, \mbox{rk}(A)=1, diremo che \mathrm{C} è una conica doppiamente degenere.

    - Se il rango della matrice dei coefficienti è pari a due, \mbox{rk}(A)=2, la conica è semplicemente degenere e in particolare se il determinante della matrice dei termini quadratici, \mbox{det}(A_{33}) è:

    • se \mbox{det}(A_{33})>0, allora l'equazione descrive due rette immaginarie coniugate e non parallele;

    • se \mbox{det}(A_{33})=0, allora l'equazione descrive due rette parallele reali e distinte oppure immaginarie coniugate;

    • se \mbox{det}(A_{33})<0, allora l'equazione descrive due rette reali e non parallele.

    Se la conica è non degenere, o generale, il determinante della matrice dei termini quadratici consente la seguente classificazione:

    - se \mbox{det}(A_{33})>0, l'equazione descrive un'ellisse;

    - se \mbox{det}(A_{33})=0, l'equazione descrive una parabola;

    - se \mbox{det}(A_{33})<0, l'equazione descrive un'iperbole.

    Questo è tutto ciò che serve per classificare una conica.

    Esaminiamo l'equazione della conica

    \mathrm{C}:\ x^2+3x y+2y^2+x+2y=0

    ed elenchiamo i suoi coefficienti:

    - il coefficiente del termine in x^2 è a_{11}=1;

    - il coefficiente del termine in y^2 è a_{22}=1;

    - il coefficiente del termine in xy è 2a_{12}=3, da cui a_{12}=\frac{3}{2};

    - il coefficiente del termine in x è 2a_{13}=1, da cui a_{13}=\frac{1}{2};

    - il coefficiente del termine in y è 2a_{23}=2, da cui a_{23}=1;

    - il termine noto è infine a_{33}=0.

    Le matrici associate a \mathrm{C} sono quindi:

    \\ A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&&\dfrac{3}{2}&&\dfrac{1}{2}\\ \\ \dfrac{3}{2}&&1&&1\\ \\ \dfrac{1}{2}&&1&&0\end{pmatrix}\\ \\ \\ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&&\dfrac{3}{2}\\ \\ \dfrac{3}{2}&& 1\end{pmatrix}

    Usando la regola di Sarrus, scopriamo che il determinante della matrice A è:

    \mbox{det}(A)=\frac{1}{2}\ne 0

    per cui \mathrm{C} è una conica non degenere, inoltre

    \mbox{det}(A_{33})=-\frac{5}{4}<0

    pertanto \mathrm{C} è un'iperbole.

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi