Metodo per la classificazione delle coniche
Avrei bisogno che qualcuno mi spiegasse come si classificano le coniche. Ho capito che si devono calcolare le matrici associate alla conica e che la classificazione avviene in base ai loro determinanti e ai loro ranghi. È corretto? Vorrei inoltre una mano per risolvere il seguente problema. Grazie.
Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano sul piano, classificare la conica
di equazione:
In generale data l'equazione di una conica , espressa in coordinate non omogenee
è possibile associarle due matrici simmetriche:
- la matrice dei coefficienti di , o semplicemente matrice della conica
- la matrice dei termini quadratici ottenuta sopprimendo la terza riga e la terza colonna di
In base al determinante della matrice dei coefficienti , la conica può essere classificata in:
- conica degenere, se il determinante di è nullo;
- conica non degenere o generale, se il determinante di è non nullo.
Nel caso in cui la conica sia degenere, vi è un'ulteriore classificazione:
- se il rango della matrice dei coefficienti è uguale a 1, , diremo che
è una conica doppiamente degenere.
- Se il rango della matrice dei coefficienti è pari a due, , la conica è semplicemente degenere e in particolare se il determinante della matrice dei termini quadratici,
è:
• se , allora l'equazione descrive due rette immaginarie coniugate e non parallele;
• se , allora l'equazione descrive due rette parallele reali e distinte oppure immaginarie coniugate;
• se , allora l'equazione descrive due rette reali e non parallele.
Se la conica è non degenere, o generale, il determinante della matrice dei termini quadratici consente la seguente classificazione:
• se , l'equazione descrive un'ellisse;
• se , l'equazione descrive una parabola;
• se , l'equazione descrive un'iperbole.
Questo è tutto ciò che serve per classificare una conica.
Esaminiamo l'equazione della conica
ed elenchiamo i suoi coefficienti:
- il coefficiente del termine in è
;
- il coefficiente del termine in è
;
- il coefficiente del termine in è
, da cui
;
- il coefficiente del termine in è
, da cui
;
- il coefficiente del termine in è
, da cui
;
- il termine noto è infine .
Le matrici associate a sono quindi:
Usando la regola di Sarrus, scopriamo che il determinante della matrice è nullo
per cui è una conica degenere.
Per capire di che conica si tratta calcoliamo il determinante della matrice
Poiché il determinante di è diverso da zero, il suo rango è pari a 2
e quindi è una conica semplicemente degenere. Inoltre, essendo
descrive due rette reali e non parallele.
Abbiamo finito!
Risposta di: Giuseppe Carichino (Galois)
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