Soluzioni
  • Leggo e ti dico!

    Risposta di Alpha
  • Non capisco bene cosa sia successo in questa spiegazione, comunque l'argomento è abbastanza standard, se vuoi posso provare a spiegartelo, poi potresti confrontare la mia spiegazione con i tuoi appunti, e cercare di capire. Purtroppo a volte è più facile cominciare da capo piuttosto che intepretare degli appunti, soprattutto se la spiegazione non ti è chiara è probabile che tu abbia fatto confusione! (capitava spesso anche a me quando seguivo lezioni complicate..)

    Risposta di Alpha
  • Si grazie mi sarebbe molto utile se me lo spiegasse!:)

    Risposta di Danielenonlasà
  • Benissimo, sarà un po' lunga ma avrai una risposta entro una mezz'ora Wink

    Risposta di Alpha
  • L'equazione generica di una conica ha questa forma:

     

    ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0

     

    È possibile associare a questa equazione, o meglio al polinomio a destra dell'uguale una matrice simmetrica 3x3:

     

    \left[\begin{matrix} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end{matrix}\right]

     

    Questa matrice si ottiene associando a la posizione (1,1) al coefficiente di x2 , (1,2) al coefficiente di xy, (2,1) a quello di y,x; (infatti puoi scrivere 2bxy=bxy+byx), quindi la matrice avrà entrate uguali nelle posizioni (1,2) e (2,1). La posizione (1,3) spetta al coefficiente di x, come quella (3,1), infatti anche questo coefficiente è scrivibile come 2dx=dx+dx. La posizione (2,2) spetta al coefficiente di y2 , mentre (2,3) al coefficiente di y,...

     

    In sostanza abbiamo ottenuto una matrice simmetrica associabile a ogni conica che ne caratterizza tutti i coefficienti.

     

    Il determinante di questa matrice è detto invariante cubico e si indica con I3.

     

    A partire da questa matrice è possibile definire altri due invarianti che prendono in considerazione proprio la matrice 2x2 di cui parla il tuo professore: consideriamo

     

    \left[\begin{matrix} a & b \\ b & c  \end{matrix}\right]

     

    Il determinante di questa matrice è detto invariante quadratico della conica, la sua notazione è I2.

     

    Questi due invarianti determinano se una conica è un'ellisse o una parabola, infatti se

     

    I_{3}\neq 0\wedge I_2

     

    la conica è una iperbole.

     

    I_{3}\neq 0\wedge I_2=0

     

    la conica è una parabola.

     

    I_{3}\neq 0\wedge I_2>0

     

    la conica è un'ellisse.

     

    Ora per completare la spiegazione, manca il completamento di un quadrato:

    data un'espressione del tipo

     

    ax^2+by^2+c=ax^2+by^2+c+2abxy-2abxy=

    =ax^2+2abxy+by^2-2abxy+c=(ax+by)^2-2abxy+c

     

     

    Nel primo passaggio ho sommato e sottratto il termine 2abxy, in modo da creare un doppio prodotto che prima non c'era. Nel secondo ho riscritto tutto in modo da dare la forma di un quadrato ai primi tre termini dell'espressione. Nel terzo ho scritto esplicitamente il quadrato.

     

    Risposta di Alpha
 
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