Metodo per la classificazione delle coniche

Avrei bisogno che qualcuno mi spiegasse come si classificano le coniche. Ho capito che si devono calcolare le matrici associate alla conica e che la classificazione avviene in base ai loro determinanti e ai loro ranghi. È corretto? Vorrei inoltre una mano per risolvere il seguente problema. Grazie.

Fissato l'usuale sistema di riferimento cartesiano Oxy sul piano, classificare la conica mathrmC di equazione:

mathrmC: x^2+3x y+2y^2+x+2y = 0

Domanda di Danielenonlasà
Soluzione

In generale data l'equazione di una conica mathrmC, espressa in coordinate non omogenee

mathrmC: a_(11)x^2+a_(22)y^2+2a_(12)xy+2a_(13)x+2a_(23)y+a_(33) = 0

è possibile associarle due matrici simmetriche:

- la matrice dei coefficienti di mathrmC, o semplicemente matrice della conica

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)]

- la matrice dei termini quadratici A_(33) ottenuta sopprimendo la terza riga e la terza colonna di A

A_(33) = [a_(11) a_(12) ; a_(12) a_(22)]

In base al determinante della matrice dei coefficienti A, la conica può essere classificata in:

- conica degenere, se il determinante di A è nullo;

- conica non degenere o generale, se il determinante di A è non nullo.

Nel caso in cui la conica sia degenere, vi è un'ulteriore classificazione:

- se il rango della matrice dei coefficienti è uguale a 1, rk(A) = 1, diremo che mathrmC è una conica doppiamente degenere.

- Se il rango della matrice dei coefficienti è pari a due, rk(A) = 2, la conica è semplicemente degenere e in particolare se il determinante della matrice dei termini quadratici, det(A_(33)) è:

• se det(A_(33)) > 0, allora l'equazione descrive due rette immaginarie coniugate e non parallele;

• se det(A_(33)) = 0, allora l'equazione descrive due rette parallele reali e distinte oppure immaginarie coniugate;

• se det(A_(33)) < 0, allora l'equazione descrive due rette reali e non parallele.

Se la conica è non degenere, o generale, il determinante della matrice dei termini quadratici consente la seguente classificazione:

• se det(A_(33)) > 0, l'equazione descrive un'ellisse;

• se det(A_(33)) = 0, l'equazione descrive una parabola;

• se det(A_(33)) < 0, l'equazione descrive un'iperbole.

Questo è tutto ciò che serve per classificare una conica.

Esaminiamo l'equazione della conica

mathrmC: x^2+3x y+2y^2+x+2y = 0

ed elenchiamo i suoi coefficienti:

- il coefficiente del termine in x^2 è a_(11) = 1;

- il coefficiente del termine in y^2 è a_(22) = 2;

- il coefficiente del termine in xy è 2a_(12) = 3, da cui a_(12) = (3)/(2);

- il coefficiente del termine in x è 2a_(13) = 1, da cui a_(13) = (1)/(2);

- il coefficiente del termine in y è 2a_(23) = 2, da cui a_(23) = 1;

- il termine noto è infine a_(33) = 0.

Le matrici associate a mathrmC sono quindi:

 A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)] = [1 (3)/(2) (1)/(2) ; (3)/(2) 2 1 ; (1)/(2) 1 0] ; A_(33) = [a_(11) a_(12) ; a_(12) a_(22)] = [1 (3)/(2) ; (3)/(2) 2]

Usando la regola di Sarrus, scopriamo che il determinante della matrice A è nullo

det(A) = 0

per cui mathrmC è una conica degenere.

Per capire di che conica si tratta calcoliamo il determinante della matrice A_(33)

det(A_(33)) = -(1)/(4) < 0

Poiché il determinante di A_(33) è diverso da zero, il suo rango è pari a 2

rk(A_(33)) = 2

e quindi mathrmC è una conica semplicemente degenere. Inoltre, essendo

det(A_(33)) < 0

mathrmC descrive due rette reali e non parallele.

Abbiamo finito!

Risposta di: Giuseppe Carichino (Galois)
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