Integrale con primitiva un arcoseno
L'integrale che devo risolvere credo che dia un arcoseno come primitiva, ed è questo:
Integrale 1/sqrt(1-8x^2) dx.
Oserei dire che è palese che dia un arcoseno, ma non riesco a capire come fa a diventare sqrt(2)/4 arcsen sqrt(8)x.
Preciso: il problema è il fattore moltiplicativo prima dell'arcoseno (dopo ci sono)...grazie mille!
Ciao Wertic0, ebbene sì è un arcoseno!
La primitiva di
1 / √(1-x2)
è arcsen(x) (vedi la tabella degli integrali), e per calcolare l'integrale fai così: una volta intuito che la primitiva è un arcoseno tu devi leggere la funzione integranda come
1 / √(1-qualcosa2)
Per arrivare a dire che la sua primitiva è arcsen(qualcosa), ti manca la derivata di qualcosa che moltiplichi l'integranda. Questa semplice regola è una conseguenza del teorema di derivazione della funzione composta.
Quindi tutto si riduce a scrivere 8x2 come un quadrato. Evidentemente, possiamo scrivere
8x2= [(2√2)x]2
All'integranda manca però un fattore, che è la derivata di (2√2)x, che è 2√2.
Per farla saltare fuori moltiplica e dividi all'interno dell'integrale per 2√2, così non cambia niente perchè è come se avessi moltiplicato per 1. Il denominatore 2√2 lo porti fuori, e hai finalmente un integrale che ha primitiva
1/(2√2) * arcsen((2√2)x).
Razionalizza il √2 che moltiplica l'arcoseno e hai finito. Risolto?
Namasté - Agente Ω
Risposta di Omega
Non mi è ancora chiarissimo il fattore moltiplicativo:
Potresti fare anche la razionalizzazione(così forse mi risulterebbe più evidente e chiaro il tutto).
Grazie mille per la pazienza.
Risposta di Wertic0
Naturalmente!
Siamo arrivati a
1/(2√2) * arcsen((2√2)x) = 1/(2√2) * arcsen((√8)x)
Vogliamo razionalizzare per spostare la radice che compare in
1/(2√2)
dal denominatore al numeratore. Moltiplichiamo e dividiamo per √2/√2, così hai
[1/(2√2)] * (√2 / √2) = √2 / [(2√2)√2] = √2 / (2*2) = √2 / 4
A posto?
Risposta di Omega
Grande! Mentre mangiavo mi si è accesa una lampadina e la tua è una conferma.
Grazie mille!
p.s. posterò altre perle, tremaate! ahah
Risposta di Wertic0
Ti aspettiamo, torna a trovarci presto! 
Namasté - Agente Ω
Risposta di Omega
Come promesso...Another one:
∫ 2/3+x^2 dx
il primo passaggio che faccio è portar fuori la costante 2/3 e riscrivere l'integrale così:
2/3∫ 1/1+(x/3)^2 dx
dopodichè deduco che è un arctg e scrivo 2/3 arctg x/3 + c.
Dove sbaglio??
ps. per vostra sfortuna ho lacune qua e la quidi mi capiterà spesso di fare
affidamento su di voi.
pps.Gran Bel Sito, molto rock & roll
grazie mille ancora!
Risposta di Wertic0
Siamo contenti che ti piaccia, ma hai letto il regolamento?...
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Risposta di Omega