Soluzioni
  • Dobbiamo valutare l'espressione:

    \cos(300^{\circ})-2\sin(120^{\circ})+3\cot(240^{\circ})-2\tan(480^{\circ})

    utilizzando le relazioni degli angoli associati.

    Prima di tutto osserviamo che:

    \bullet\,\,300^{\circ}=360^{\circ}-60^{\circ}

    di conseguenza

    \cos(300^{\circ})=\cos(360^{\circ}-60^{\circ})=\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}

    \bullet\,\, 120^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ}

    dunque

    \sin(180^{\circ}-60^{\circ})=\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}

    Lavoriamo ora sul \cot(240^{\circ}), dove \cot indica la funzione cotangete. Per definizione:

    \cot(240^{\circ})=\frac{\cos(240^{\circ})}{\sin(240^{\circ})}

    Osserva inoltre che l'angolo 240^{\circ} si può riscrivere come

    \bullet\,\, 240^{\circ}=180^{\circ}+60^{\circ}

    Pertanto

    \sin(240^{\circ})=\sin(180^{\circ}+60^{\circ})=-\sin(60^{\circ})=-\frac{\sqrt{3}}{2}

    mentre

    \cos(240^{\circ})=\sin(180^{\circ}+60^{\circ})=-\cos(60^{\circ})=-\frac{1}{2}

    Possiamo concludere che la cotangente di 240 gradi è:

    \cot(240^{\circ})=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}

    Nel caso servisse ti invito a leggere la discussione su come si esegue la divisione tra frazioni.

    Abbiamo quasi finito, dobbiamo valutare la tangente dell'angolo 480^{\circ}

    Per definizione di tangente si ha che:

    \tan(480^{\circ})= \frac{\sin(480^{\circ})}{\cos(480^{\circ})}

    Osserviamo ora che 480^{\circ}=360^{\circ}+120^{\circ}, si ha:

    \sin(480^{\circ})=\sin(360^{\circ}+120^{\circ})=\sin(120^{\circ})=\sin(180^{\circ}-60^{\circ})=

    =-\sin(60^{\circ})=-\frac{\sqrt{3}}{2}

    Effettuiamo gli stessi passaggi per il coseno dell'angolo 480^{\circ}

    \cos(480^{\circ})=\cos(360^{\circ}+120^{\circ})=\cos(120^{\circ})=\cos(180^{\circ}-60^{\circ})=

    =-\cos(60^{\circ})=-\frac{1}{2}

    Pertanto:

    \tan(480^{\circ})=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}

    Ora possiamo risolvere l'espressione:

    \cos(300^{\circ})-2\sin(120^{\circ})+3\cot(240^{\circ})-2\tan(480^{\circ})=

    =\frac{1}{2}-2\frac{\sqrt{3}}{2}+3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}-2 (-\sqrt{3})=

    =\frac{1}{2}+2\sqrt{3}.

    Prima di salutarti, ecco a te la tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche.

    Risposta di Ifrit
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