Soluzioni
  • Ciao Jumpy. :)

    Come prima cosa facciamoci un disegno. Rappresentiamo un triangolo isoscele di base BC con l'angolo al vertice di 120°.

    Sul lato AC (di lunghezza \ell) prendiamo un punto P e ricaviamo le proiezioni ortogonali di tale punto sulle rette BC \mbox{ e } AB.

    Si verranno così a formare i due triangoli rettangoli PSC \mbox{ e } PRA. Sia inoltre AH l'altezza del triangolo isoscele relativa alla base BC

     

    Problema di goniometria con triangolo isoscele

     

    Poiché l'angolo di vertice A interno al triangolo è ampio 120°, la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto e un triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali, abbiamo che

    \widehat{ACB}=(180^{\circ}-120^{\circ}):2=60^{\circ}:2=30^{\circ}

    Di conseguenza, essendo AC=\ell, per i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo ricavare la misura di

    AH=AC \cdot \sin(\widehat{ACB})=\ell \cdot \sin(30^{\circ})=\frac{\ell}{2}

    Poniamo, come suggerito dal libro, PS=x.

    Dal momento che AHC \mbox{ e } PSC sono due triangoli simili possiamo impostare la seguente proporzione:

    AH:PS=AC:PC

    che ci permetterà di ricavare la misura di PC in funzione dell'incognita x. Infatti, per la proprietà fondamentale delle proporzioni

    PC=\frac{PS\cdot AC}{AH}=\frac{\ell x}{\frac{\ell}{2}}=\ell x \cdot \frac{2}{\ell} = 2x

    Ne segue che 

    AP=AC-PC=\ell-2x

    da cui

    PR=AP \cdot \sin(\widehat{RAP})=(\ell-2x) \cdot \sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}\ell-\sqrt{3}x

    infatti l'angolo \widehat{RAP} si ottiene dalla differenza tra un angolo piatto e l'angolo \widehat{BAC}=120^{\circ}

    Possiamo ora andare a sostituire quanto trovato nell'equazione data dal problema

    PS^2+PR^2=\frac{1}{4}k \ \mbox{ con } k>0

    e ricadere così nell'equazione

    x^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\ell-\sqrt{3}x\right)^2=\frac{1}{4}k

    sviluppando il quadrato di binomio e facendo i conti abbiamo

    4x^2-3\ell x+\frac{3}{4}\ell^2-\frac{1}{4}k=0

    che possiamo riscrivere come

    16x^2-12\ell x+3\ell^2-k=0

    ossia un'equazione di secondo grado con

    a=16, \ b=-12\ell, \ c=3\ell^2-k

    Il discriminante associato a tale equazione, usando la formula del delta quarti, è

    \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=36\ell^2-16(3\ell^2-k)=36\ell^2-48\ell^2+16k=16k-12\ell^2

    Ora, affinché un'equazione di secondo grado ammetta soluzioni reali, il suo discriminante deve essere positivo, ossia dobbiamo imporre che sia

    16k-12\ell^2 \ge 0

    Ricordiamo che \ell è la misura del lato, quindi dobbiamo risolvere tale equazione in funzione del parametro reale k.

    Tale disequazione di primo grado, evidentemente, è soddisfatta per

    k\ge \frac{3}{4}\ell^2

    ossia per tali valori di k possiamo trovare il valore dell'incognita x (misura del segmento PS).

    Abbiamo finito. :)

    Risposta di Galois
 
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