Soluzioni
  • Il nostro compito prevede di studiare la convergenza puntuale e quella uniforme della successione di funzioni \{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}, definita da

    f_n(x)=\frac{1+x}{x^{n}+n^2}

    nell'intervallo [0,+\infty).

    Convergenza puntuale della successione di funzioni

    Una successione di funzioni \{f_n\}_{n\in\mathbb{N}} converge puntualmente in un insieme A a una funzione f se e solo se per ogni x\in A esiste finito il limite per n\to +\infty di f_n(x), e se esso coincide con f(x).

    \lim_{n\to+\infty}f_n(x)=f(x) \ \ \ \forall x\in A

    Studiare la convergenza puntuale di \{f_n\}_{n\in\mathbb{N}} significa determinare sia l'insieme di convergenza A, sia la funzione limite f(x). A questo proposito fissiamo x\in[0,+\infty) e maggioriamo la successione di funzioni con quella che si ottiene cancellando la quantità non negativa x^n al denominatore

    0\le \frac{1+x}{x^{n}+n^2}\le\frac{1+x}{n^2} \ \ \ \forall x\in [0,+\infty)

    Per n\to +\infty si ha che \frac{1+x}{n^2} tende a 0 per ogni x\in [0,+\infty)

    \lim_{n\to +\infty}\frac{1+x}{n^2}=0\ \ \ \forall x\in[0,+\infty)

    di conseguenza, per il teorema del confronto tra successioni, anche f_n(x) tende a 0

    \lim_{n\to+\infty}\frac{1+x}{x^{n}+n^2}=0 \ \ \ \forall x\in [0,+\infty)

    Possiamo affermare quindi che la funzione limite è f(x)=0, mentre l'insieme di convergenza è A=[0,+\infty).

    Convergenza uniforme della successione di funzioni

    Per stabilire se f_n(x) converge uniformemente a f(x) in A, dobbiamo verificare che l'estremo superiore del valore assoluto di f_n(x)-f(x) sull'insieme di convergenza tende a zero per n\to +\infty, in altri termini dobbiamo dimostrare che:

    \lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[0,+\infty)}|f_n(x)-f(x)|=0

    vale a dire

    \\ \lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[0,+\infty)}\left|\frac{1+x}{x^{n}+n^2}\right|=\\ \\ \\ =\lim_{n\to +\infty}\sup_{x\in[0,+\infty)}\frac{1+x}{x^{n}+n^2}=0

    Per agevolare lo studio lavoreremo su due intervalli distinti, [0,2)\ \mbox{e} \ [2,+\infty), perché su di essi è semplice maggiorare gli estremi superiori di |f_n(x)-f(x)|.

    Per x\in [0,2) valgono le maggiorazioni

    \\ \bullet \ \ \ 1+x<1+2=3\\ \\ \bullet \ \ \ x^{n}+n^2\ge n^2

    che ci autorizzano a scrivere la seguente

    \frac{1+x}{x^n+n^2}<\frac{3}{n^2} \ \ \ \forall x\in [0,2)

    Per x\in[2,+\infty) vale la maggiorazione

    \bullet \ \ \ x^{n}+n^2\ge x^{n}

    con la quale scriviamo la seguente

    \frac{1+x}{x^{n}+n^2}\le \frac{1+x}{x^{n}}=

    Distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore

    =\frac{1}{x^{n}}+\frac{x}{x^{n}}=\frac{1}{x^{n}}+\frac{1}{x^{n-1}}\le

    e osserviamo che, per n\ge 1, l'ultima espressione è la somma di due funzioni decrescenti su [2,+\infty) che hanno massimo assoluto nel primo estremo dell'intervallo

    \le\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1+2}{2^{n}}=\frac{3}{2^{n}}

    In definitiva abbiamo dimostrato che

    \\ \frac{1+x}{x^{n}+n^2}\le\frac{3}{n^2}\ \ \ \forall x\in [0,2) \\ \\ \\ \frac{1+x}{x^{n}+n^2}\le\frac{3}{2^{n}}\ \ \ \forall x\in[2,+\infty)

    per cui l'estremo superiore della successione di funzioni sull'intervallo è maggiorato dal massimo tra \frac{3}{n^2}\ \mbox{e} \ \frac{3}{2^n}, al variare di n\ge 1

    \sup_{x\in[0,+\infty)}\frac{1+x}{x^{n}+n^2}\le\mbox{max}\left\{\frac{3}{n^2},\frac{3}{2^n}\right\} \ \ \ \forall n\in\mathbb{N}-\{0\}

    Per n\to +\infty sia \frac{3}{n^2} che \frac{3}{2^n} tendono a 0, e per confronto, è infinitesimo anche il sup.

    \lim_{n\to +\infty}\sup_{x\in[0,+\infty)}\frac{1+x}{x^{n}+n^2}=0

    Conclusioni

    La successione di funzioni \{f_n\} converge sia puntualmente sia uniformemente alla funzione nulla nell'intervallo [0,+\infty).

    Risposta di Ifrit
 
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