Soluzioni
  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Vedo che è lo stesso esercizio di cui abbiamo parlato in un'altra domanda, ma hai fatto bene ad aprirne una nuova perché, a quanto vedo, vuoi sapere i passaggi di un altro svolgimento.

    Ok: il procedimento proposto dal tuo professore prevede di prendere come punto x=2 e non x=1. Io non avrei fatto così, ma va bene lo stesso :)

    Se prendiamo x maggiore di 2, la funzione 

    \left|\frac{1+x}{x^n+n^2}\right|

    con n fissato è decrescente strettamente, quindi il sup sull'intervallo x\geq 2 è dato dal valore che la funzione assume all'inizio dell'intervallo. Ossia

    sup_{x\in[2,+\infty)}{\frac{1+x}{x^n+n^2}}

    [che poi è anche massimo, ma chissenefrega].

    Di più: dato che tanto più grande è il denominatore tanto più piccola è la frazione, per stare largo nella maggiorazione puoi togliere il quadrato di n. Tanto per non farci mancare nulla...

    Passando a considerare l'intervallo [0,2], dobbiamo ragionare così: per stare larghi nella maggiorazione puoi maggiorare con

    \left|\frac{1+x}{x^n+n^2}\right|\leq\left|\frac{1+x}{n^2}\right|

    tanto dividendo per una quantità più piccola ottieni una quantità più grande.

    Questa funzione è crescente nell'intervallo, e ha sup=massimo all'estremo destro dell'intervallo [0,2], quindi puoi maggiorare il sup con

    \frac{3}{n^2}

    entrambi i sup tendono a zero per n tendente ad infinito, quindi hai la tanto agognata convergenza uniforme.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Il sup da 2 a +infinito sul file è diverso lo mette minore di  3/ 2n-1

    Risposta di Danilo
  • Il sup da 2 a +infinito sul file è diverso lo mette minore di  3/ 2n-1

    Risposta di Danilo
  • È lo stesso. Lasciando perdere il fatto che quel sup non vale 2 ma devi valutarlo in 2 (errore di battitura), trovi

    sup_{x\in [2,+\infty)}{\left|\frac{1+x}{x^n+n^2}\right|}\leq sup_{x\in [2,+\infty)}{\left|\frac{1+x}{x^n}\right|}\leq sup_{x\in [2,+\infty)}{\left|\frac{1}{x^n}\right|}+sup_{x\in [2,+\infty)}{\left|\frac{x}{x^n}\right|}=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n-1}

    Namasté

    Risposta di Omega
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