Studio convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni?
Studiare la convergenza (puntuale e uniforme) della seguente successione di funzioni
fn(x) = (1 + x)/(xn + n2 ) 0≤x< infinito
Ciao Danilo, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
La successione di funzioni
per 
converge puntualmente alla funzione 
(anche nel caso in cui x=0).
Per studiare la convergenza uniforme dobbiamo calcolare il limite per n tendente a infinito di
dove prima consideriamo n fissato, calcoliamo il sup e poi passiamo al limite per n tendente a infinito. Si vede facilmente che:
- se x è maggiore-uguale di 1 l'estremo superiore è
ottenuto valutando la funzione in x=1.
- se x è compreso tra 0 ed 1 estremi esclusi, è sufficiente studiare la derivata prima della funzione per trovare i massimi/minimi (in particolare ci servono solo i massimi, perchè la funzione è sempre positiva nell'intervallo considerato).
Fammi sapere se hai problemi.
Namasté!
Risposta di Omega
Perchè scegliamo x=1 ? potrei scegliere anche x = 200??
Risposta di Danilo
No, scegliamo x=1 (consiglio spassionato 
) perchè il comportamento della potenza che c'è a denominatore cambia radicalmente a seconda che la base sia compresa tra 0 ed 1 oppure che la base sia maggiore di 1.
Dai un'occhiata qui
- funzione esponenziale con base maggiore di 1
- funzione esponenziale con base compresa tra 0 e 1
Per qualsiasi dubbio: devi solo chiedere!
Namasté!
Risposta di Omega