Soluzioni
  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • La successione di funzioni

    f_{n}(x)=\frac{1+x}{x^n+n^2}

    per x\in[0,+\infty) converge puntualmente alla funzione f(x)=0 (anche nel caso in cui x=0).

    Per studiare la convergenza uniforme dobbiamo calcolare il limite per n tendente a infinito di

    sup_{x\geq 0}\left|\frac{1+x}{x^n+n^2}\right|

    dove prima consideriamo n fissato, calcoliamo il sup e poi passiamo al limite per n tendente a infinito. Si vede facilmente che:

    - se x è maggiore-uguale di 1 l'estremo superiore è

    \frac{2}{1+n^2}

    ottenuto valutando la funzione in x=1.

    - se x è compreso tra 0 ed 1 estremi esclusi, è sufficiente studiare la derivata prima della funzione per trovare i massimi/minimi (in particolare ci servono solo i massimi, perchè la funzione è sempre positiva nell'intervallo considerato).

    Fammi sapere se hai problemi.

    Namasté! 

    Risposta di Omega
  • Perchè scegliamo x=1 ? potrei scegliere anche x = 200??

    Risposta di Danilo
  • No, scegliamo x=1 (consiglio spassionato Laughing) perchè il comportamento della potenza che c'è a denominatore cambia radicalmente a seconda che la base sia compresa tra 0 ed 1 oppure che la base sia maggiore di 1.

    Dai un'occhiata qui

    - funzione esponenziale con base maggiore di 1

    - funzione esponenziale con base compresa tra 0 e 1

    Per qualsiasi dubbio: devi solo chiedere!

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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