Soluzioni
  • Richiamiamo alcuni concetti che useremo per risolvere l'esercizio.

    Sia E un sottoinsieme di \mathbb{R}. Diremo che x_0 è un punto interno di E se e solo se esiste un intorno completo di x_0 interamente contenuto in E.

    La parte interna dell'insieme E, indicata solitamente con \mbox{Int}(E), è l'insieme costituito dai punti interni di E.

    \mbox{Int}(E)=\{x\in E\ \mbox{t.c.} \ x\ \grave{\mbox{e}} \ \mbox{interno a}\ E\}

    Ricordiamo che in \mathbb{R}, un intorno completo di x_0 si presenta nella forma

    I(x_0,\varepsilon)=(x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon)

    dove \varepsilon è un numero reale positivo, detto raggio dell'intorno.

    Dopo le dovute premesse, possiamo occuparci del problema: dobbiamo determinare la parte interna degli insiemi

    \\ E_1=\{1\}\cup\{2\}\cup\left\{\frac{5}{4}\right\}\\ \\ E_2=[1,2]

    cominciando da E_1.

    Parte interna di E1

    In base alle definizioni, la parte interna di E_1 coincide con l'insieme vuoto, \mbox{Int}(E_1)=\emptyset.

    Consideriamo un generico intorno completo di 1

    I(1,\varepsilon)=(1-\varepsilon, 1+\varepsilon) \ \ \ \mbox{con} \ \varepsilon>0

    A prescindere dal valore assunto da \varepsilon>0, \ I(1,\varepsilon) contiene (infiniti) punti di \mathbb{R} che non appartengono a E_1, per cui non esiste alcun intorno di 1 interamente contenuto in E_1.

    Sulla base di ciò, 1 non è un punto interno di E_1.

    Seguendo il medesimo ragionamento, si dimostra facilmente che né 2, né \frac{5}{4} sono punti interni di E_1, di conseguenza

    \mbox{Int}(E_1)=\emptyset

    Parte interna dell'insieme E2

    Per quanto concerne E_2=[1,2], bisogna subito mettere in chiaro che è un intervallo contenente tutti i numeri reali compresi tra 1\ \mbox{e} \ 2

    E_2=\{x\in\mathbb{R}: \ 1\le x\le 2\}

    Dimostriamo che la sua parte interna coincide con (1,2), notando che per ogni x_0\in (1,2) possiamo considerare un intorno

    I(x_0,\varepsilon)=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)

    in cui \varepsilon rispetta contemporaneamente le condizioni:

    x_0-\varepsilon\ge 1 \ \ \ ,\ \ \ x_0+\varepsilon\le 2\ \ \ \ \mbox{con} \ \varepsilon>0

    Un intorno del genere, infatti, è certamente contenuto in E_2, pertanto x_0 è un punto interno a E_2 e dunque è un elemento della parte interna dell'insieme:

    x_0\in \mbox{Int}(E_2) \ \ \ \forall x_0\in (1,2)

    Gli estremi di E_2,\ 1 \ \mbox{e} \ 2, non sono punti interni perché non esiste alcun loro intorno completo interamente contenuto in E_2, di conseguenza:

    1,2\notin\mbox{Int}(E_2)

    Possiamo concludere che la parte interna di E_2 è l'insieme (1,2)

    \mbox{Int}(E_2)=(1,2)

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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