Punti interni e intorni

Avrei bisogno di un chiarimento sui punti interni di un insieme. Potreste darmi la definizione di punto interno di un insieme e risolvere un esercizio in cui mi viene chiesto di determinare la parte interna di due insiemi?

Dopo aver riportato la definizione, determinare la parte interna dei seguenti insiemi.

E_1 = 1 U 2 U (5)/(4) ; E_2 = [1,2]

Grazie.

Domanda di pantheron
Soluzione

Richiamiamo alcuni concetti che useremo per risolvere l'esercizio.

Sia E un sottoinsieme di R. Diremo che x_0 è un punto interno di E se e solo se esiste un intorno completo di x_0 interamente contenuto in E.

La parte interna dell'insieme E, indicata solitamente con Int(E), è l'insieme costituito dai punti interni di E.

Int(E) = x∈ E t.c. x e' interno a E

Ricordiamo che in R, un intorno completo di x_0 si presenta nella forma

I(x_0,ε) = (x_0-ε, x_0+ε)

dove ε è un numero reale positivo, detto raggio dell'intorno.

Dopo le dovute premesse, possiamo occuparci del problema: dobbiamo determinare la parte interna degli insiemi

E_1 = 1 U 2 U (5)/(4) ; E_2 = [1,2]

cominciando da E_1.

Parte interna di E1

In base alle definizioni, la parte interna di E_1 coincide con l'insieme vuoto, Int(E_1) = Ø.

Consideriamo un generico intorno completo di 1

I(1,ε) = (1-ε, 1+ε) con ε > 0

A prescindere dal valore assunto da ε > 0, I(1,ε) contiene (infiniti) punti di R che non appartengono a E_1, per cui non esiste alcun intorno di 1 interamente contenuto in E_1.

Sulla base di ciò, 1 non è un punto interno di E_1.

Seguendo il medesimo ragionamento, si dimostra facilmente che né 2, né (5)/(4) sono punti interni di E_1, di conseguenza

Int(E_1) = Ø

Parte interna dell'insieme E2

Per quanto concerne E_2 = [1,2], bisogna subito mettere in chiaro che è un intervallo contenente tutti i numeri reali compresi tra 1 e 2

E_2 = x∈R: 1 ≤ x ≤ 2

Dimostriamo che la sua parte interna coincide con (1,2), notando che per ogni x_0∈ (1,2) possiamo considerare un intorno

I(x_0,ε) = (x_0-ε,x_0+ε)

in cui ε rispetta contemporaneamente le condizioni:

x_0-ε ≥ 1 , x_0+ε ≤ 2 con ε > 0

Un intorno del genere, infatti, è certamente contenuto in E_2, pertanto x_0 è un punto interno a E_2 e dunque è un elemento della parte interna dell'insieme:

x_0∈ Int(E_2) ∀ x_0∈ (1,2)

Gli estremi di E_2, 1 e 2, non sono punti interni perché non esiste alcun loro intorno completo interamente contenuto in E_2, di conseguenza:

1,2 notinInt(E_2)

Possiamo concludere che la parte interna di E_2 è l'insieme (1,2)

Int(E_2) = (1,2)

Abbiamo finito.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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