Soluzioni
  • Ciao pantheron...guardo la lezione e arrivo!

    Risposta di Alpha
  • Un punto si dice interno ad un insieme se esiste almeno un intorno completo tutto contenuto nell'insieme tale che quel punto gli appartenga.

    Se consideri in R il sottoinsieme formato dal singoletto {1} sei in grado di trovare un intorno di 1 tutto appartenente all'insieme {1}? Direi proprio di no. Dunque 1 non è un punto interno all'insieme 1!

     

    Allo stesso modo prova a prendere i l'intervallo [1,2] mettiti agli estremi, scegliamo 1. Disegna un cerchio, ovvero un intorno completo, centrato in 1. Il cerchio è tutto contenuto nell'intervallo? Direi proprio di no, infatti la metà sinistra, per quanto piccolo possa essere l'intorno cadrà sempre a sinistra di 1. Dunque il punto non è interno!

     

    Nello stesso intervallo il punto 1/2 è chiaramente interno, infatti basta considerare un intorno di raggio 1/4 del punto 1/2! Un intorno di questo tipo infatti non uscirà dall'intervallo [1,2].

     

    Dunque, per il primo punto devi fare attenzione al fatto che l'insieme è formato da singoletti, quindi come prendi l'intorno finirai sempre fuori dal singoletto, per come è definito! Per il secondo, invece devi concentrarti sulla definizione di intorno completo, vuoi un intorno tutto contenuto nell'insieme, non basta che sia contenuta una sola parte!

    Risposta di Alpha
  • quindi noi è meglio se vediamo l' intorno come un cerchietto centrato nel punto di riferimento (x0) e i punti appartenenti all' intorno sono solo quelli agli estremi -diciamo- che toccano l' asse reale, senza considerare il punto stesso no? cioè.. l' intorno dovrà avere sempre un centro e un raggio e non potrà mai corrispondere ad una circonferenza degenere..   vero?   perchè da come o si faceva noi innanzitutto l' intorno (preso come distanza da xo-r e xo +r) pareva più che altro un intervallo..  invece così quindi non è  - ho inteso??

    Risposta di pantheron
  • altra precisazione- quindi i punti di frontiera possono appartenere o non appartenere all'insieme però non saranno da considerare nè interni nè esterni-   giusto???   es.:  E= [1,2) --> Ei=(1,2) Ee=(-∞,1)U(2,+∞) Ef={1,2}  ? no?

    Risposta di pantheron
  • Si, puoi vedere gli intorni come circonferenze, e considerandone l'intersezione con l'asse reale ottieni proprio (x-r,x+r), ma, dici bene, r non può essere uguale a zero, altrimenti staresti considerando solo il punto e non l'intorno del punto.

    I punti di frontiera sono quelli, sempre pensando a circonferenze, per cui mezza circonferenza cade all'interno dell'insieme e mezza fuori! Oppure i singoletti uniti all'insieme, per esempio se E={1}U(2,3) la sua frontiera sarà {1,2,3}.

    Risposta di Alpha
  • ecco, però, come si spiega il tuo esempio del singoletto unito all' insieme con la "teoria" della pallina(=circonferenza) o dir si voglia x dire che 1 è punto di frontiera??

    Risposta di pantheron
  • comunque sia mi confermi che l' intorno è un intervallo dato dall' insieme [(x-r), (x+r)]  o la distanza |x-r,x+r| che dir si voglia??

    Risposta di pantheron
  • Certo che si, come dicevi tu è come intersecare una circonferenza di raggio r e centro il punto x, con l'asse delle x, ottieni proprio l'intervallo (x-r,x+r)

    Risposta di Alpha
  • ecco, però anche qui me lo metti come insieme aperto.. invece se fosse l' intersezione dovrebbe essere chiuso, comprendendo quindi anche gli estremi..   scusa se sono stato prolisso ma per me l' intorno è sempre stato un problema con quante definizioni se ne da e con quanto è utile conoscerlo BENE


     



    non intendo tediarti più..  grazie ;) e alla prossima!

     

     

    Risposta di pantheron
  • Assolutamente, hai ragione, l'intorno è definito come aperto, in realtà puoi anche studiare topologie in cui gli intorni sono palle chiuse, ma in generale si considerano gli aperti, per comodità!

    Risposta di Alpha
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