Doppia disuguaglianza con i prodotti notevoli

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Ciao ciao, ho una doppia disuguaglianza con due disequazioni che penso di dover risolvere con i prodotti notevoli. Mi potete spiegare come procedere?

 

3/4(x2-y2)2 ≤ (x-y)(x3-y3) ≤ (x2-y2)2

 

Come la risolvo? Dovrei prima fattorizzare (x-y)(x3-y3)-3/4(x2-y2)2 ?

 

Che poi sarebbe (x-y)(x-y)(x2-xy+y2)-3/4((x-y)(x+y))2

 

e poi?

Domanda di Erika

 
Soluzioni

  • Arrivo Erika!

    Risposta di Alpha

  • La tua disuguaglianza nasconde un sistema di due disuguaglianze:

     

    \left\{\begin{matrix}\frac{3}{4}(x^2-y^2)^2\leq (x-y)(x^3-y^3)\\(x-y)(x^3-y^3)\leq (x^2-y^2)^2\end{matrix}

     

    Dalla prima disequazione ottieni, sviluppando i prodotti notevoli

     

    (x^2-y^2)^2=((x-y)(x+y))^2=(x-y)^2(x+y)^2

    e

     

    x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

     

    e raccogliendo opportunamente, che

     

    (x-y)^2(x^2+y^2+2xy)\leq 0

     

    (x-y)^2(x+y)^2\leq 0

     

    Dalla seconda ottieni che

     

    (x-y)^2 (x^2+xy+y^2-x^2-2xy-y^2)\leq 0

     

    (x-y)^2 (-2xy)\leq 0

     

    (x-y)^2 xy\geq 0

     

    Le due disequazioni devono valere contemporaneamente, ma la prima non è mai negativa: è prodotto di quadrati, quindi, al più può essere nulla. È nulla quando x=y=0 oppure x=y oppure x=-y.

     

    Se x=y=0 anche la seconda è verificata, infatto risulta 0≥0, che è vero!

     

    Se x=y ancora una volta la seconda disequazione è verificata!

     

    Se x=y, sostituendo nella seconda equazione abbiamo che x4 dovrebbe essere minore o uguale a zero, questo è vero solo quando x=0, dunque torniamo alla prima soluzione: x=y=0.

    Risposta di Alpha
 
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