Doppia disuguaglianza con i prodotti notevoli

Ciao ciao, ho una doppia disuguaglianza con due disequazioni che penso di dover risolvere con i prodotti notevoli. Mi potete spiegare come procedere?

3/4(x2-y2)2 ≤ (x-y)(x3-y3) ≤ (x2-y2)2

Come la risolvo? Dovrei prima fattorizzare (x-y)(x3-y3)-3/4(x2-y2)2 ?

Che poi sarebbe (x-y)(x-y)(x2-xy+y2)-3/4((x-y)(x+y))2

e poi?

Domanda di Erika
Soluzioni

Arrivo Erika!

Risposta di Alpha

La tua disuguaglianza nasconde un sistema di due disuguaglianze:

(3)/(4)(x^2−y^2)^2 ≤ (x−y)(x^3−y^3) ; (x−y)(x^3−y^3) ≤ (x^2−y^2)^2

Dalla prima disequazione ottieni, sviluppando i prodotti notevoli

 

(x^2−y^2)^2 = ((x−y)(x+y))^2 = (x−y)^2(x+y)^2

e

 

x^3−y^3 = (x−y)(x^2+xy+y^2)

 

e raccogliendo opportunamente, che

 

(x−y)^2(x^2+y^2+2xy) ≤ 0

(x−y)^2(x+y)^2 ≤ 0

Dalla seconda ottieni che

 

(x−y)^2 (x^2+xy+y^2−x^2−2xy−y^2) ≤ 0

(x−y)^2 (−2xy) ≤ 0

(x−y)^2 xy ≥ 0

Le due disequazioni devono valere contemporaneamente, ma la prima non è mai negativa: è prodotto di quadrati, quindi, al più può essere nulla. È nulla quando x=y=0 oppure x=y oppure x=-y.

 

Se x=y=0 anche la seconda è verificata, infatto risulta 0≥0, che è vero!

 

Se x=y ancora una volta la seconda disequazione è verificata!

 

Se x=y, sostituendo nella seconda equazione abbiamo che x4 dovrebbe essere minore o uguale a zero, questo è vero solo quando x=0, dunque torniamo alla prima soluzione: x=y=0.

Risposta di Alpha

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