Doppia disuguaglianza con i prodotti notevoli
Ciao ciao, ho una doppia disuguaglianza con due disequazioni che penso di dover risolvere con i prodotti notevoli. Mi potete spiegare come procedere?
3/4(x2-y2)2 ≤ (x-y)(x3-y3) ≤ (x2-y2)2
Come la risolvo? Dovrei prima fattorizzare (x-y)(x3-y3)-3/4(x2-y2)2 ?
Che poi sarebbe (x-y)(x-y)(x2-xy+y2)-3/4((x-y)(x+y))2
e poi?
Arrivo Erika!
Risposta di Alpha
La tua disuguaglianza nasconde un sistema di due disuguaglianze:
Dalla prima disequazione ottieni, sviluppando i prodotti notevoli
e
e raccogliendo opportunamente, che
Dalla seconda ottieni che
Le due disequazioni devono valere contemporaneamente, ma la prima non è mai negativa: è prodotto di quadrati, quindi, al più può essere nulla. È nulla quando x=y=0 oppure x=y oppure x=-y.
Se x=y=0 anche la seconda è verificata, infatto risulta 0≥0, che è vero!
Se x=y ancora una volta la seconda disequazione è verificata!
Se x=y, sostituendo nella seconda equazione abbiamo che x4 dovrebbe essere minore o uguale a zero, questo è vero solo quando x=0, dunque torniamo alla prima soluzione: x=y=0.
Risposta di Alpha