Soluzioni
  • Salvo diverse e specifiche indicazioni, con proiezione di un punto su un piano si intende la proiezione ortogonale del punto sul piano assegnato.

    Se \alpha è un qualsiasi piano e P è un qualsiasi punto dello spazio tridimensionale, la proiezione ortogonale di P su \alpha è il piede della perpendicolare condotta da P ad \alpha.

    Per fissare le idee disegniamo un piano \alpha e un punto P non appartenente ad esso, e tracciamo la retta r passante per P e ortogonale al piano \alpha.

     

    La proiezione ortogonale di P su \alpha è il punto H di intersezione tra retta e piano.

     

    Proiezione di un punto su un piano

    Proiezione ortogonale di un punto su un piano.

     

    Nel caso di un punto appartenente al piano, la proiezione del punto sul piano coincide col punto stesso.

    Come calcolare la proiezione di un punto su un piano

    Se sono note le coordinate cartesiane di un punto P e l'equazione cartesiana di un piano \alpha, per determinare la proiezione ortogonale di P su \alpha la prima cosa da fare è stabilire se P appartiene al piano o meno.

    Se P \in \alpha, la proiezione di P su \alpha coincide con P.

    Se invece P \notin \alpha, per risalire alla proiezione occorre:

    - determinare le equazioni cartesiane o le equazioni parametriche della retta r passante per P e ortogonale ad \alpha;

    - trovare il punto di intersezione tra la retta r e il piano \alpha risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni.

    Qualora venissero assegnate le equazioni parametriche del piano \alpha, consigliamo di passare dalla forma parametrica alla forma cartesiana e procedere come abbiamo visto.

    Esempio sul calcolo della proiezione di un punto su un piano

    Determinare la proiezione ortogonale del punto P(1,1,-2) sul piano

    \alpha:\ \ 2x+y+3z-11=0

    Svolgimento: stabiliamo se il punto appartiene al piano sostituendo le coordinate cartesiane di P nell'equazione di \alpha

    \\ 2(1)+1+3(-2)-11 = 0 \\ \\ 2+1-6-11 = 0 \\ \\ -13 = 0

    Poiché le coordinate del punto non soddisfano l'equazione del piano, possiamo asserire che P \notin \alpha.

    Detto H il punto che individua la proiezione ortogonale di P su \alpha, per determinare le coordinate di H dobbiamo ricavare le equazioni parametriche o quelle cartesiane della retta r passante per P e ortogonale a \alpha.

    Per determinare le equazioni della retta abbiamo bisogno di un punto di passaggio (e lo abbiamo) e di un vettore che ne individua la direzione.

    Detto \mathbf{v}_r uno dei vettori direttori della retta r, e indicando con \mathbf{n}_{\alpha} il vettore dei coefficienti direttori del piano \alpha, dallo studio delle posizioni reciproche tra retta e piano è noto che r è ortogonale ad \alpha se \mathbf{v}_r è un qualsiasi multiplo non nullo di \mathbf{n}_{\alpha}.

    In particolare nulla ci vieta di scegliere \mathbf{v}_r = \mathbf{n}_{\alpha}.

    Dall'equazione cartesiana di \alpha è immediato determinare il vettore dei coefficienti direttori

    \mathbf{n}_{\alpha}=(a,b,c)=(2,1,3)

    e quindi un vettore direttore di r è

    \mathbf{v}_r=\mathbf{n}_{\alpha}=(2,1,3)

    Ricordando che r deve passare per il punto P(1,1,-2), le sue equazioni parametriche sono

    r: \ \begin{cases}x=x_P+at \\ y=y_P+bt \\ z=z_P+ct\end{cases} \ \ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}

    ossia

    r: \ \begin{cases}x=1+2t \\ y=1+t \\ z=-2+3t\end{cases} \ \ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}

    Per concludere l'esercizio risolviamo il sistema formato dalle equazioni di retta e piano

    \begin{cases}x=1+2t \\ y=1+t \\ z=-2+3t \\ 2x+y+3z-11=0\end{cases}

    Sostituiamo x,y,z nella quarta equazione

    2(1+2t)+(1+t)+3(-2+3t)-11=0

    Siamo così ricaduti in un'equazione di primo grado nell'incognita t. Troviamone la soluzione

    \\ 2+4t+1+t-6+9t-11=0 \\ \\ 14t-14=0 \\ \\ t=1

    Per concludere sostituiamo t=1 nelle prime tre equazioni del sistema iniziale

    \begin{cases}x=1+2t=1+2=3 \\ y=1+t=1+1=2 \\ z=-2+3t=-2+3=1\\ t=1\end{cases}

    In definitiva il punto di intersezione tra retta e piano, nonché la proiezione ortogonale di P su \alpha, è il punto H(3,2,1).

    ***

    La nozione di proiezione ortogonale di un punto su un piano interviene in esercizi ben più complessi, senza considerare che entra in gioco in altri contesti di Geometria dello Spazio, come ad esempio nella definizione di distanza di un punto di un piano.

    Risposta di Galois
 
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