Salvo diverse e specifiche indicazioni, con proiezione di un punto su un piano si intende la proiezione ortogonale del punto sul piano assegnato.
Se
è un qualsiasi piano e
è un qualsiasi punto dello spazio tridimensionale, la proiezione ortogonale di
su
è il piede della perpendicolare condotta da
ad
.
Per fissare le idee disegniamo un piano
e un punto
non appartenente ad esso, e tracciamo la retta
passante per
e ortogonale al piano
.
La proiezione ortogonale di
su
è il punto
di intersezione tra retta e piano.
Proiezione ortogonale di un punto su un piano.
Nel caso di un punto appartenente al piano, la proiezione del punto sul piano coincide col punto stesso.
Come calcolare la proiezione di un punto su un piano
Se sono note le coordinate cartesiane di un punto
e l'equazione cartesiana di un piano
, per determinare la proiezione ortogonale di
su
la prima cosa da fare è stabilire se
appartiene al piano o meno.
Se
, la proiezione di
su
coincide con
.
Se invece
, per risalire alla proiezione occorre:
- determinare le equazioni cartesiane o le equazioni parametriche della retta
passante per
e ortogonale ad
;
- trovare il punto di intersezione tra la retta
e il piano
risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni.
Qualora venissero assegnate le equazioni parametriche del piano
, consigliamo di passare dalla forma parametrica alla forma cartesiana e procedere come abbiamo visto.
Esempio sul calcolo della proiezione di un punto su un piano
Determinare la proiezione ortogonale del punto
sul piano
Svolgimento: stabiliamo se il punto appartiene al piano sostituendo le coordinate cartesiane di
nell'equazione di
Poiché le coordinate del punto non soddisfano l'equazione del piano, possiamo asserire che
.
Detto
il punto che individua la proiezione ortogonale di
su
, per determinare le coordinate di
dobbiamo ricavare le equazioni parametriche o quelle cartesiane della retta
passante per
e ortogonale a
.
Per determinare le equazioni della retta abbiamo bisogno di un punto di passaggio (e lo abbiamo) e di un vettore che ne individua la direzione.
Detto
uno dei vettori direttori della retta
, e indicando con
il vettore dei coefficienti direttori del piano
, dallo studio delle posizioni reciproche tra retta e piano è noto che
è ortogonale ad
se
è un qualsiasi multiplo non nullo di
.
In particolare nulla ci vieta di scegliere
.
Dall'equazione cartesiana di
è immediato determinare il vettore dei coefficienti direttori
e quindi un vettore direttore di
è
Ricordando che
deve passare per il punto
, le sue equazioni parametriche sono
ossia
Per concludere l'esercizio risolviamo il sistema formato dalle equazioni di retta e piano
Sostituiamo
nella quarta equazione
Siamo così ricaduti in un'equazione di primo grado nell'incognita
. Troviamone la soluzione
Per concludere sostituiamo
nelle prime tre equazioni del sistema iniziale
In definitiva il punto di intersezione tra retta e piano, nonché la proiezione ortogonale di
su
, è il punto
.
***
La nozione di proiezione ortogonale di un punto su un piano interviene in esercizi ben più complessi, senza considerare che entra in gioco in altri contesti di Geometria dello Spazio, come ad esempio nella definizione di distanza di un punto di un piano.
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