Soluzioni
  • Le equazioni parametriche di un piano si ricavano disponendo di due vettori linearmente indipendenti \mathbf{v}\ \mbox{e} \ \mathbf{w} e di un punto P_{0}.

    \mathbf{v}, \mathbf{w} sono i cosiddetti vettori di giacitura e sono paralleli al piano.

    Noti questi elementi, l'equazione in forma vettoriale è:

    P=P_{0}+s\mathbf{v}+t\mathbf{w}\ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

    Se poniamo P(x,y,z), \ \mathbf{v}=(l_1,m_1,n_1), \ \mathbf{w}=(l_2,m_2,n_2), la precedente relazione si tramuta in:

    \begin{cases}x=x_{P_0}+l_1s+l_2t\\ y=y_{P_0}+m_1s+m_2t\\ z=z_{P_0}+n_1s+n_2t\end{cases}\ \ \ \mbox{con}\ s,t\in\mathbb{R}

    L'esercizio propone sia il punto per cui passa il piano \pi, P_0(1,2,0), sia il vettore ortogonale, \mathbf{n}=(1,0,1): purtroppo non fornisce i vettori di giacitura, però possiamo ricavarli senza troppe difficoltà.

    Poiché \mathbf{n} è ortogonale al piano, esso dovrà essere necessariamente ortogonale ai vettori \mathbf{v},\mathbf{w}: è questa l'informazione che consente di risolvere agilmente l'esercizio!

    Possiamo infatti scegliere i vettori di giacitura del piano tra i vettori che sono ortogonali a \mathbf{n}, a patto che siano linearmente indipendenti.

    Sia \mathbf{m}=(l,m,n) un generico vettore. Esso è ortogonale a \mathbf{n} se e solo se è nullo il loro prodotto scalare euclideo:

    \mathbf{m}\perp\mathbf{n} \ \iff \ \mathbf{m}\cdot\mathbf{n}=0

    Esplicitando la precedente relazione, otteniamo l'equazione:

    \\ \mathbf{m}\cdot\mathbf{n}=0\ \ \ \to \ \ \ (l,m,n)\cdot(1,0,1)=0 

    da cui

    l+n=0 \ \ \ \to \ \ \ l=-n

    Possiamo affermare che i vettori perpendicolari a \mathbf{n} si presentano nella forma

    \mathbf{m}=(l,m,n)=(-n,m,n) \ \ \ \mbox{con} \ m,n\in\mathbb{R}

    Scegliamone due tra questi, attribuendo valori arbitrari a m e a n, con una sola condizione: i vettori che ne scaturiscono devono essere linearmente indipendenti.

    Per n=1\ \mbox{e} \ m=0, otteniamo il vettore

    \mathbf{m}_{1}=(-1,0,1)

    mentre per n=0\ \mbox{e} \ m=1, otteniamo il vettore

    \mathbf{m}_2=(0,1,0)

    Osservato che \mathbf{m}_{1},\mathbf{m}_2 sono linearmente indipendenti, li usiamo come vettori di giacitura di \pi

    \mathbf{v}=\mathbf{m}_1=(-1,0,1) \ \ \ , \ \ \ \mathbf{w}=\mathbf{m}_2=(0,1,0)

    per cui possiamo concludere che l'equazione parametrica del piano è:

    \pi:\ \begin{cases}x=x_{P_0}+l_1s+l_2t\\ y=y_{P_0}+m_1s+m_2t\\ z=z_{P_0}+n_1s+n_2t\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=1-s\\ y=2+t\\ z=s\end{cases}

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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