Equazioni parametriche del piano ortogonale a un vettore per un punto
In che modo posso scrivere le equazioni parametriche di un piano, sapendo che è ortogonale a un vettore dato e che passa per un punto? Vorrei evitare di passare dalla rappresentazione cartesiana a quella parametrica, se possibile.
Scrivere le equazioni parametriche del piano 
ortogonale al vettore 
e passante per il punto 
.
Grazie.
Le equazioni parametriche di un piano si ricavano disponendo di due vettori linearmente indipendenti 
e di un punto 
.
sono i cosiddetti vettori di giacitura e sono paralleli al piano.
Noti questi elementi, l'equazione in forma vettoriale è:
Se poniamo 
, la precedente relazione si tramuta in:
L'esercizio propone sia il punto per cui passa il piano , , sia il vettore ortogonale, : purtroppo non fornisce i vettori di giacitura, però possiamo ricavarli senza troppe difficoltà.
Poiché 
è ortogonale al piano, esso dovrà essere necessariamente ortogonale ai vettori : è questa l'informazione che consente di risolvere agilmente l'esercizio!
Possiamo infatti scegliere i vettori di giacitura del piano tra i vettori che sono ortogonali a , a patto che siano linearmente indipendenti.
Sia 
un generico vettore. Esso è ortogonale a se e solo se è nullo il loro prodotto scalare euclideo:
Esplicitando la precedente relazione, otteniamo l'equazione:
da cui
Possiamo affermare che i vettori perpendicolari a si presentano nella forma
Scegliamone due tra questi, attribuendo valori arbitrari a 
e a 
, con una sola condizione: i vettori che ne scaturiscono devono essere linearmente indipendenti.
Per 
, otteniamo il vettore
mentre per 
, otteniamo il vettore
Osservato che 
sono linearmente indipendenti, li usiamo come vettori di giacitura di
per cui possiamo concludere che l'equazione parametrica del piano è:
Abbiamo finito!
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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