Studio convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni?

Per studiare la convergenza puntuale della successione di funzioni

con fissiamo un valore di x e calcoliamo il limite

che vale 0 se prendiamo preventivamente x=0, mentre per x maggiore di zero vale 0 (basta razionalizzare per eliminare la forma di indecisione infinito - infinito).

Dunque il limite puntuale della successione è

Per studiare la convergenza uniforme, dobbiamo calcolare il limite per n tendente ad infinito di

che è

Nel calcolare il sup, dobbiamo ricordarci che n è fissato! (Solo nel seguito calcoleremo il limite per n tendente ad infinito). Dato che la funzione considerata è continua sull'intervallo [0,2], ammette certamente un massimo ed un minimo assoluti per il teorema di Weierstrass. In particolare, si trova che  la funzione è sempre crescente sull'intervallo considerato (basta studiarne la derivata prima secondo i metodi standard).

Quindi il massimo, che è anche sup, è raggiunto per x=2, in cui abbiamo

e calcolandone il limite per n tendente ad infinito, con la razionalizzazione, troviamo che vale 0. Di conseguenza

uniformemente oltre che puntualmente.

Namasté!