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  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per studiare la convergenza puntuale della successione di funzioni

    f_(n)(x) = √((n+1)x)-√(nx)

    con x∈[0,2] fissiamo un valore di x e calcoliamo il limite

    lim_(n → +infty)√((n+1)x)-√(nx) = f(x)

    che vale 0 se prendiamo preventivamente x=0, mentre per x maggiore di zero vale 0 (basta razionalizzare per eliminare la forma di indecisione infinito - infinito).

    Dunque il limite puntuale della successione è f(x) = 0

    Per studiare la convergenza uniforme, dobbiamo calcolare il limite per n tendente ad infinito di

    sup_(x∈[0,2])|f_(n)(x)-f(x)|

    che è

    sup_(x∈[0,2])|√((n+1)x)-√(nx)|

    Nel calcolare il sup, dobbiamo ricordarci che n è fissato! (Solo nel seguito calcoleremo il limite per n tendente ad infinito). Dato che la funzione considerata è continua sull'intervallo [0,2], ammette certamente un massimo ed un minimo assoluti per il teorema di Weierstrass. In particolare, si trova che  la funzione è sempre crescente sull'intervallo considerato (basta studiarne la derivata prima secondo i metodi standard).

    Quindi il massimo, che è anche sup, è raggiunto per x=2, in cui abbiamo

    sup_(x∈[0,2])|√((n+1)x)-√(nx)| = √(2(n+1))-√(2n)

    e calcolandone il limite per n tendente ad infinito, con la razionalizzazione, troviamo che vale 0. Di conseguenza

    f_(n)(x)arrow f(x) = 0

    uniformemente oltre che puntualmente.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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