Ciao Danilo, arrivo a risponderti...
Per studiare la convergenza puntuale della successione di funzioni
con
fissiamo un valore di x e calcoliamo il limite
che vale 0 se prendiamo preventivamente x=0, mentre per x maggiore di zero vale 0 (basta razionalizzare per eliminare la forma di indecisione infinito - infinito).
Dunque il limite puntuale della successione è
Per studiare la convergenza uniforme, dobbiamo calcolare il limite per n tendente ad infinito di
che è
Nel calcolare il sup, dobbiamo ricordarci che n è fissato! (Solo nel seguito calcoleremo il limite per n tendente ad infinito). Dato che la funzione considerata è continua sull'intervallo [0,2], ammette certamente un massimo ed un minimo assoluti per il teorema di Weierstrass. In particolare, si trova che la funzione è sempre crescente sull'intervallo considerato (basta studiarne la derivata prima secondo i metodi standard).
Quindi il massimo, che è anche sup, è raggiunto per x=2, in cui abbiamo
e calcolandone il limite per n tendente ad infinito, con la razionalizzazione, troviamo che vale 0. Di conseguenza
uniformemente oltre che puntualmente.
Namasté!
MEDIE | Geometria | Algebra e Aritmetica | |||
SUPERIORI | Algebra | Geometria | Analisi | Altro | |
UNIVERSITÀ | Analisi | Algebra Lineare | Algebra | Altro | |
EXTRA | Pillole | Wiki |