Studio convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni?

Salve,

come posso studiare la convergenza puntuale e uniforme di

fn(x) = √((n+1)x) - √(nx)    0≤x≤2

ho problemi soprattutto per come si trova il sup :(

In Uni - Analisi - Domanda di Danilo

Soluzioni

  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per studiare la convergenza puntuale della successione di funzioni

    f_{n}(x)=\sqrt{(n+1)x}-\sqrt{nx}

    con x\in[0,2] fissiamo un valore di x e calcoliamo il limite

    \lim_{n\to +infty}{\sqrt{(n+1)x}-\sqrt{nx}}=f(x)

    che vale 0 se prendiamo preventivamente x=0, mentre per x maggiore di zero vale 0 (basta razionalizzare per eliminare la forma di indecisione infinito - infinito).

    Dunque il limite puntuale della successione è f(x)=0

    Per studiare la convergenza uniforme, dobbiamo calcolare il limite per n tendente ad infinito di

    sup_{x\in[0,2]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|

    che è

    sup_{x\in[0,2]}\left|\sqrt{(n+1)x}-\sqrt{nx}\right|

    Nel calcolare il sup, dobbiamo ricordarci che n è fissato! (Solo nel seguito calcoleremo il limite per n tendente ad infinito). Dato che la funzione considerata è continua sull'intervallo [0,2], ammette certamente un massimo ed un minimo assoluti per il teorema di Weierstrass. In particolare, si trova che  la funzione è sempre crescente sull'intervallo considerato (basta studiarne la derivata prima secondo i metodi standard).

    Quindi il massimo, che è anche sup, è raggiunto per x=2, in cui abbiamo

    sup_{x\in[0,2]}\left|\sqrt{(n+1)x}-\sqrt{nx}\right|=\sqrt{2(n+1)}-\sqrt{2n}

    e calcolandone il limite per n tendente ad infinito, con la razionalizzazione, troviamo che vale 0. Di conseguenza

    f_{n}(x)\rightarrow f(x)=0

    uniformemente oltre che puntualmente.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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