Soluzioni
  • Dunque, innanzitutto posso dirti che il procedimento che hai seguito NON è corretto, questo perche in generale

    (A+B)^x\neq A^x+B^x

    E' richiesto un trucco algebrico: moltiplicare tutta l'equazione per

    (\sqrt{2}+1)^x

    possiamo farlo perché tale termine non si annulla per alcun valore di x, quindi non stiamo aggiungendo soluzioni all'equazione di partenza.

    Questo stratagemma ti permette di sfruttare la regola della differenza dei quadrati (a+b)(a-b)=a2-b2. Otteniamo

    (\sqrt{2}+1)^{2x}+(\sqrt{2}-1)^x(\sqrt{2}+1)^x-2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)^x=0

    Quindi per una nota proprietà delle potenze

    (\sqrt{2}+1)^{2x}+[(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)]^x-2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)^x=0

    (\sqrt{2}+1)^{2x}+[2-1]^x-2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)^x=0

    (\sqrt{2}+1)^{2x}+1^x-2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)^x=0

    Dove 1^x indipendentemente da x. Ora sostituiamo y=(\sqrt{2}+1)^x e si passa così all'equazione

    y^2-2\sqrt{2}y+1=0

    La risolviamo con il solito metodo per le equazioni di secondo grado, e troviamo come soluzioni:

    y_1=\sqrt{2}-1,\ y_2=\sqrt{2}+1

    Adesso ci ricordiamo che

    y=(\sqrt{2}+1)^x

    Tutto si riduce così a due semplicissime equazioni esponenziali. In ogni caso, qui trovi i metodi di svolgimento e la teoria.

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
 
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