Soluzioni
  • Io userei le coordinate cilindriche, quindi

    \left\{\begin{matrix}x=\rho\cos(\varphi)\\x=\rho\sin(\varphi)\\z=z\end{matrix}

    sostituendo otteniamo:

    f(\rho,\varphi,z)=\left(\rho^2\cos^2(\varphi)+\rho^2\sin^2(\varphi)\right)^2-\rho^2\sin(\varphi)\cos(\varphi)+z^2

    riscriviamola sfruttando l'identità trigonometrica fondamentale (vedi formule trigonometriche) e la formula di duplicazione del seno:

    f(\rho,\varphi,z)=\rho^4-\rho^2\frac{1}{2}\sin(2\varphi)+z^2

    Vogliamo calcolare i punti in cui il gradiente di questa funzione è nullo.

    Il gradiente di una funzione è definito come il vettore avente per componenti le derivate parziali della funzione stessa:

    \nabla f(\rho,\varphi,z)=\left(f^{\prime}_{\rho},f^{\prime}_{\varphi},f^{\prime}_{z}\right)

    Calcoliamo le derivate parziali della funzione:

    f^{\prime}_{\rho}=\frac{\partial f}{\partial\rho}=4\rho^3-\rho(\sin(2\varphi))

    f^{\prime}_{\varphi}=\frac{\partial f}{\partial\varphi}=\cos(\varphi)

    f^{\prime}_{z}=\frac{\partial f}{\partial z}=2z

    Porre il gradiente uguale a zero significa risolvere il sistema che nasce dall'equazione vettoriale

    \nabla f(\rho,\varphi,z)=\left(0,0,0\right)

    cioè

    \left\{\begin{matrix}4\rho^3-\rho(\sin(2\varphi))=0\\\cos(\varphi)=0\\2z=0\end{matrix}

    Ora, la terza equazione è già risolta z=0, la seconda è vera quando φ è uguale a π/2 o a (3/2)π, poiché φ appartiene all'intervallo [0, 2π].

    Dunque risolviamo la prima, ora che conosciamo i possibili valori di φ:

    \left\{\begin{matrix}4\rho^3-\rho(\sin(2\varphi))=0\\\varphi=\frac{\pi}{2}\\z=0\end{matrix}

    sostituendo la seconda nella prima:

    \left\{\begin{matrix}4\rho^3=0\\\varphi=\frac{\pi}{2}\\z=0\end{matrix}

    cioè

    \left\{\begin{matrix}\rho=0\\\varphi=\frac{\pi}{2}\\z=0\end{matrix}

    dunque un punto in cui il gradiente si annulla è

    \left(0,\frac{\pi}{2},0\right)

    Sostituendo φ=(3/2)π ottieni esattamente lo stesso risultato, ed il vettore delle soluzioni è

    \left(0,\frac{3\pi}{2},0\right)

    Risposta di Ifrit
 
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