Derivata di un prodotto con rapporto e esponenziale
Dovrei calcolare la derivata di una funzione molto elaborata in cui figurano la funzione esponenziale e una funzione razionale fratta. Secondo me, devo usare la regola sulla derivata del prodotto, ma una volta svolti i calcoli, il risultato del libro è diverso da quello che ottengo io.
Calcolare la derivata della funzione
Grazie.
Per calcolare la derivata della funzione
useremo innanzitutto la regola di derivazione del prodotto di una costante per una funzione, che ci permette di trasportare fuori dal simbolo di derivata il segno meno.
![f'(x) = (d)/(dx)[f(x)] = (d)/(dx)[-e^(x)·(x-2)/(x^3)] = -(d)/(dx)[e^(x)·(x-2)/(x^3)] =](/images/joomlatex/9/e/9ef598cb3f085af785042238cbb9db22.gif)
Deriviamo il prodotto tra la funzione esponenziale e la funzione razionale fratta
![= -(d)/(dx)[e^(x)]·(x-2)/(x^3)+e^(x)·(d)/(dx)[(x-2)/(x^3)]](/images/joomlatex/5/4/54013835b54c09ec894ef6bf21648013.gif)
La derivata dell'esponenziale
coincide con la funzione stessa![(d)/(dx)[e^(x)] = e^(x)](/images/joomlatex/2/f/2f44b6df210f3904bcc315ec10c889dd.gif)
Per quanto concerne la derivata di
, procederemo con la regola per la derivata del quoziente.![(d)/(dx)[(x-2)/(x^3)] = ((d)/(dx)[x-2]·x^3-(x-2)·(d)/(dx)[x^3])/(x^(6)) = (x^3-(x-2)·3x^2)/(x^6) = (x^3-3x^3+6x^2)/(x^6) = (-2x^3+6x^2)/(x^6) =](/images/joomlatex/9/a/9a5206158e6a4237df027c7afb4b5bde.gif)
Raccogliamo totalmente
al numeratore e semplifichiamo
In base a quanto calcolato, l'espressione
![-(d)/(dx)[e^(x)]·(x-2)/(x^3)+e^(x)·(d)/(dx)[(x-2)/(x^3)] =](/images/joomlatex/1/d/1da4eee3ad8e0b0bda144fe92753575a.gif)
diventa
![= -e^(x)·(x-2)/(x^3)+e^(x)·(6-2x)/(x^4) = -e^(x)[(x-2)/(x^3)+(6-2x)/(x^4)] =](/images/joomlatex/f/1/f1d21bd8f6c156fbe66fbd27dfbaadb7.gif)
Abbiamo praticamente concluso: basta sommare le frazioni algebriche e mettere un punto all'esercizio
La derivata di
è quindi
È fatta!
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