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  • Arrivo Gio...

    Risposta di Alpha
  • Ok...il sistema è

     

    \left\{\begin{matrix}\log_2(x)+\log_{2}(y)=\frac{1}{2}\\2^{\log_{1/2}(x+y)}=5^\log_{5}(x-y)}\end{matrix}

     

    Risolviamo la prima disequazione logaritmica, otterremo y=f(x), poi sostituiremo nella seconda equazione l'espressione trovata:

    Le condizioni di esistenza sono x e y maggiori di 0.

     

    \log_2(x)+\log_{2}(y)=\frac{1}{2}

     

    \log_2(x)=\frac{1}{2}\log_{2}(2)-\log_2(y)

     

    \log_2(x)=\log_{2}(2^{1/2})-\log_2(y)

     

    \log_2(x)=\log_2\left({\frac{\sqrt{2}}{y}}\right)

     

    Negli ultimi due passaggi ho usato delle proprietà dei logaritmi che puoi trovare elencate qui.

    Passiamo agli esponenziali in base 2 di entrambi i membri dell'equazione, come sai sono l'operazione inversa del logaritmo in base 2, e otteniamo

     

    x=\frac{\sqrt{2}}{y}

     

    cioè

     

    y=\frac{\sqrt{2}}{x}

     

    Occupiamoci della seconda equazione:

     

    2^{\log_{1/2}(x+y)}=5^{\log_{5}(x-y)}}

     

    proprio perché esponenziali e logaritmi sono uno l'operazione inversa dell'altro otterremo

     

    \frac{1}{x+y}=x-y

     

    dove nel primo caso abbiamo considerato l'inverso perché il logaritmo era in base 1/2 e non 2...

     

    Sostituiamo l'espressione trovata prima, otteniamo

     

    \frac{1}{x+\frac{\sqrt{2}}{x}}=x-\frac{\sqrt{2}}{x}

     

    facendo il denominatore comune otteniamo la seguente equazione biquadratica:

     

    x^4-x^2-2=0

     

    la soluzione di questo tipo di equazioni è discussa in questa lezione, sostanzialmente è sufficiente porre x2=t e risolverla come una qualunque equazione di secondo grado.

    L'unica soluzione accettabile, ricorda che sia x che y devono essere positive, è

     

    x=\sqrt{2}

     

    Sostituendo questo valore in:

     

    y=\frac{\sqrt{2}}{x}

     

    otteniamo

     

    y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

     

    quindi

     

    y=1

     

    La soluzione (2(1/2),1) non solo soddisfa le CE derivanti dalla prima equazione, (x e y positivi), ma anche quelle derivanti dalla seconda:x è maggiore di y!

    Risposta di Alpha
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