Soluzioni
  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • L'equazione del cilindro (con sezione ellittica e centro nell'origine) è

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

    se ci fai caso, la variabile z relativa alla quot è libera.

    Quella del cono (sempre con centro nell'origine) è

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0

    Se vuoi trovare le equazioni cartesiane relative a cilindri e coni con centro arbitrario, ti basta effettuare una traslazione opportuna delle coordinate e sviluppare i calcoli.

    L'equazione della sfera che hai scritto è corretta.

    Per capire quale sia la migliore (a volte unica) parametrizzazione da usare ci sono due principali strategie:

    1) Tenere in considerazione la simmetria del problema: ad esempio se ti viene richiesto di cercare i massimi/minimi vincolati ad una superficie a simmetria sferica/cilindrica/conica;

    2) Qualora la simmetria non fosse evidente, utilizzare una parametrizzazione che semplifica l'espressione della funzione di cui vuoi ricercare i massimi/minimi vincolati. In tal caso la simmetria si manifesta sulla funzione e non sul vincolo, per questo è più difficile da intuire geometricamente ma è più semplice intuirla analiticamente. Ad esempio, ogni volta che nella funzione compare la somma dei quadrati delle coordinate, è mooooolto probabile ed è moooolto conveniente passare a delle coordinate sferiche.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • sei stato chiarissimo e gentilissimo, l' ultima cosa:

    potresti scrivermi l'equazione del cilindro e del cono con centro non nell origine e le relative equazioni parametriche? perche non ho capito bene il fatto della traslazione :)

     

    Risposta di Danilo
  • Naturalmente! Laughing

    Equazione cartesiana del cilindro con centro non nell'origine:

    \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1

    Equazioni parametriche del cilindro ellittico con centro non nell'origine:

    x=x_0+a\cos{(\theta)}

    y=y_0+b\sin{(\theta)}

    z=z

    Equazione cartesiana del cono con centro non nell'origine:

    \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=0

    Equazioni parametriche del cono con centro non nell'origine:

    x=x_0+ra\cos{(\theta)}

    y=y_0+rb\sin{(\theta)}

    z=z_0+rc

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Le equazioni parametriche del cilindro sono la stessa cosa delle coordinate cilindriche? Perché sui miei appunti mi ritrovo

    x= ρ cos Ψ

    y= ρ sin Ψ

    z=z

    dove ρ=√(x2 + y2)

    Risposta di Danilo
  • Sono la stessa cosa, solo che nel caso delle tue equazioni parametriche il cilindro non ha sezione ellittica ma ha sezione circolare. Dalle equazioni parametriche scritte sopra sostituendo

    a^2=b^2=r^2

    vale a dire il raggio della circonferenza a quadrato (infatti una circonferenza è un'ellisse con semiassi coincidenti tra loro). Inoltre, le tue equazioni parametriche sono riferite ad un cilindro con asse passante per l'origine, quindi

    (x_0,y_0)=(0,0)

    Tutto torna Laughing

    Risposta di Omega
  • Sono la stessa cosa, solo che nel caso delle tue equazioni parametriche il cilindro non ha sezione ellittica ma ha sezione circolare. Dalle equazioni parametriche scritte sopra sostituendo

    a^2=b^2=r^2

    vale a dire il raggio della circonferenza a quadrato (infatti una circonferenza è un'ellisse con semiassi coincidenti tra loro). Inoltre, le tue equazioni parametriche sono riferite ad un cilindro con asse passante per l'origine, quindi

    (x_0,y_0)=(0,0)

    Tutto torna Laughing

    Risposta di Omega
  • quindi in ogni parametrizzazzione se il centro non è l'origine aggiungo x= x0 +.... Y=Y0 + .... z = z0 + ...

    siano esse coordinate cilindriche sferiche polari e quelle riguardo al cono sono le coordinate coniche?

     

    Risposta di Danilo
  • Tranne che nelle cilindriche, in cui non si ha un centro tridimensionale bensì un asse, che viene individuato dal punto del piano XY per il quale passa. Ergo: nel caso delle cilindriche devi traslare solamente ascissa e ordinata.

    La coordinata z

    z=z

    resta sempre libera e non subisce traslazioni.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ultimo dubbio poi vi lascio :)

    equazione ellisse con centro non nell origine e relativa equazione parametrica :)

     

    Risposta di Danilo
  • Proprio come l'equazione cartesiana del cilindro ellittico, che infatti ha sezione ellittica. L'equazione cartesiana è pari-pari!

    La differenza apparentemente nascosta è che nel caso dell'ellisse non c'è la terza coordinata perché ci troviamo nel piano, e quindi anche nelle equazioni parametriche non ci sarà l'equazione relativa alla coordinata z.

    Nel caso del cilindro non c'è la coordinata z nell'equazione cartesiana perché, invece, è una variabile libera. Ma nelle equazioni parametriche c'é, eccome se c'è...

    Giusto a titolo di pura curiosità potresti dare un'occhiata alla lezione sulle quadriche. :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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