Soluzioni
  • Per esplicitare le equazioni parametriche della sfera, del cilindro e del cono è necessario conoscere alcuni concetti preliminari: oltre a sapere quali sono le equazioni cartesiane dei tre luoghi geometrici bisogna avere dimestichezza con le coordinate sferiche e le coordinate cilindriche.

    Almeno in questo contesto, inoltre, con i termini sfera, cilindro e cono intenderemo rispettivamente la superficie sferica, la superficie cilindrica e la superficie conica. Sebbene sia a tutti gli effetti un abuso di linguaggio, è comunemente accettato anche negli ambienti accademici.

    Dopo questa breve premessa iniziamo con la sfera, dopodiché ci occuperemo del cilindro e infine del cono.

    Equazione cartesiana della sfera

    Dato un sistema di riferimento Oxyz, l'equazione cartesiana della sfera di centro nel punto C(x_C,y_C,z_C) e raggio r è:

    \mbox{S}\ : \ (x-x_{C})^2+(y-y_{C})^2+(z-z_{C})^2=r^2

    Per la superficie sferica esistono due parametrizzazioni naturali che discendono direttamente dalle coordinate sferiche e si caratterizzano in base alla definizione di un angolo, solitamente indicato con la lettera greca \varphi, che può ricoprire il ruolo di colatitudine o di latitudine.

    In base al ruolo che attribuiamo a \varphi, distinguiamo le equazioni parametriche riferite alla colatitudine e quelle riferite alla latitudine. 

    Equazioni parametriche della sfera riferite alla colatitudine

    Se interpretiamo \varphi come colatitudine, le equazioni parametriche della sfera sono:

    \begin{cases}x(\theta,\varphi)=x_{C}+r\sin(\varphi)\cos(\theta) \\ y(\theta, \varphi)=y_{C}+r\sin(\varphi)\sin(\theta) \\ z(\theta, \varphi)=z_{C}+r\cos(\varphi)\end{cases}

    dove:

    r è un numero reale non negativo ed è noto (è il raggio della sfera);

    \theta individua la longitudine e varia nell'intervallo [0,2\pi);

    \varphi è invece la colatitudine e varia nell'intervallo [0,\pi].

     

    Colatitudine nella parametrizzazione della sfera

    Colatitudine nella parametrizzazione della sfera.

     

    Equazioni parametriche della sfera riferite alla latitudine

    Se interpretiamo \varphi come latitudine, le equazioni parametriche della sfera sono:

    \begin{cases}x(\theta,\varphi)=x_{C}+r\cos(\varphi)\cos(\theta)\\ y(\theta,\varphi)=y_{C}+r\cos(\varphi)\sin(\theta)\\ z(\theta,\varphi)=z_{C}+r\sin(\varphi)\end{cases}

    dove:

    r è un numero reale non negativo ed è noto (è il raggio della sfera);

    \theta è la longitudine e varia nell'intervallo [0,2\pi);

    \varphi è la latitudine e varia nell'intervallo \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

     

    Latitudine nella parametrizzazione della sfera

    Latitudine nella parametrizzazione della sfera.

     

    Esempio (Equazioni parametriche della sfera)

    Determinare le equazioni parametriche associate alla sfera di centro C(1,0,1) e raggio r=\sqrt{2}.

    Svolgimento: il testo fornisce sia le coordinate del centro che il raggio, per cui basta usare le precedenti relazioni.

    Le equazioni parametriche della sfera riferite alla colatitudine sono:

    \begin{cases}x(\theta,\varphi)=x_{C}+r\sin(\varphi)\cos(\theta) \\ y(\theta, \varphi)=y_{C}+r\sin(\varphi)\sin(\theta) \\ z(\theta, \varphi)=z_{C}+r\cos(\varphi)\end{cases}

    che, una volta rimpiazzati i valori, diventano:

    \begin{cases}x(\theta,\varphi)=1+\sqrt{2}\sin(\varphi)\cos(\theta) \\ y(\theta, \varphi)=\sqrt{2}\sin(\varphi)\sin(\theta) \\ z(\theta, \varphi)=1+\sqrt{2}\cos(\varphi)\end{cases}

    dove 0\le \theta<2\pi, mentre 0\le \varphi\le \pi.

    Le equazioni parametriche della medesima sfera, riferite alla latitudine, si ricavano usando le relazioni

    \begin{cases}x(\theta,\varphi)=x_{C}+r\cos(\varphi)\cos(\theta)\\ y(\theta,\varphi)=y_{C}+r\cos(\varphi)\sin(\theta)\\ z(\theta,\varphi)=z_{C}+r\sin(\varphi)\end{cases}

    che, sostituiti i valori dati dal testo, diventano

    \begin{cases}x(\theta,\varphi)=1+\sqrt{2}\cos(\varphi)\cos(\theta)\\ y(\theta,\varphi)=\sqrt{2}\cos(\varphi)\sin(\theta)\\ z(\theta,\varphi)=1+\sqrt{2}\sin(\varphi)\end{cases}

    dove 0\le\theta<2\pi, mentre questa volta -\frac{\pi}{2}\le\varphi\le\frac{\pi}{2}

    Abbiamo finito!

    Equazione cartesiana del cilindro

    L'equazione cartesiana del cilindro a base circolare, con asse di simmetria perpendicolare al piano base xy che passa per il punto (x_C, y_{C},0), è:

    \Gamma\ :\ (x-x_C)^2+(y-y_{C})^2=r^2

    dove r è il raggio della circonferenza sul piano base, centrata nel punto (x_{C},y_{C},0).

    Equazioni parametriche del cilindro

    Le equazioni parametriche del cilindro discendono direttamente dalle coordinate cilindriche.

    Detto \theta l'angolo generato dall'asse x e da uno dei qualsiasi raggi della circonferenza sul piano base, le equazioni parametriche del cilindro sono date dalle relazioni:

    \begin{cases}x(\theta, h)=x_{0}+r\cos(\theta)\\ y(\theta, h)=y_{0}+r\sin(\theta)\\ z(\theta, h)=h\end{cases}

    in cui

    r è il raggio della circonferenza di base ed è fissato;

    \theta è l'angolo libero di variare nell'intervallo [0,2\pi);

    h individua, infine, la quota e varia nell'insieme dei numeri reali, h\in\mathbb{R}.

     

    Parametrizzazione del cilindro

    Parametrizzazione del cilindro.

     

    Esempio (Equazioni parametriche del cilindro)

    Parametrizzare il cilindro di equazione

    (x-2)^2+(y-3)^2=5

    Svolgimento: dall'equazione cartesiana del cilindro possiamo ricavare il centro e il raggio della circonferenza del piano base xy che valgono rispettivamente

    C(2,3,0)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ r=\sqrt{5}

    Sostituiamo i valori ottenuti nelle relazioni

    \begin{cases}x(\theta, h)=x_{0}+r\cos(\theta)\\ y(\theta, h)=y_{0}+r\sin(\theta)\\ z(\theta, h)=h\end{cases}

    ricavando così le equazioni parametriche del cilindro in esame:

    \begin{cases}x(\theta, h)=2+\sqrt{5}\cos(\theta)\\ y(\theta, h)=3+\sqrt{5}\sin(\theta)\\ z(\theta, h)=h\end{cases}

    Abbiamo finito.

    Cilindro a base ellittica

    Se la base del cilindro è un'ellisse di centro (x_{C},y_{C},0) e semiassi che misurano rispettivamente a\ \mbox{e}\  b, allora l'equazione cartesiana del cilindro è:

    \Gamma \ :  \ \frac{(x-x_C)^2}{a^2}+\frac{(y-y_{C})^2}{b^2}=1

    mentre le equazioni parametriche associate sono:

    \begin{cases}x(\theta, h)=x_{C}+a\cos(\theta)\\ y(\theta,h)=y_{C}+b\sin(\theta)\\ z(\theta, h)=h\end{cases}

    dove \theta varia nell'intervallo [0,2\pi), mentre h varia nell'insieme dei numeri reali.

    Equazione cartesiana del cono

    L'equazione cartesiana del cono con asse di simmetria parallelo all'asse z e vertice di coordinate V(x_{V},y_{V},z_{V}) è:

    \mbox{K} \ : \ \frac{(x-x_{V})^2}{a^2}+\frac{(y-y_{V})^2}{b^2}-\frac{(z-z_{V})^2}{c^2}=0

    Equazioni parametriche del cono

    Le equazioni parametriche del cono si ricavano abbastanza agevolmente se sfruttiamo le proprietà delle potenze per riscrivere la sua equazione cartesiana nella forma

    \left(\frac{x-x_{V}}{a}\right)^2+\left(\frac{y-y_{V}}{b}\right)^2=\left(\frac{z-z_{V}}{c}\right)^2 \ \ \ (\bullet)

     Se poniamo

    \\ \frac{x-x_{V}}{a}=r\cos(\theta) \ \ \ \to \ \ \ x=x_{V}+ar\cos(\theta) \\ \\ \frac{y-y_{V}}{b}=r\sin(\theta) \ \ \ \to \ \ \ y=y_{V}+br\sin(\theta)

    con r\ge 0\ \mbox{e} \ \theta che varia nell'intervallo [0,2\pi), l'equazione (\bullet) diviene

    r^2\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\theta)=\left(\frac{z-z_V}{c}\right)^2

    da cui, grazie anche alla relazione fondamentale della goniometria, segue:

    r^2=\left(\frac{z-z_V}{c}\right)^2

    Risolviamo l'equazione in favore dell'incognita z: estraiamo la radice quadrata membro a membro

    r=\left|\frac{z-z_{V}}{c}\right|

    e sbarazziamoci del valore assoluto inserendo al primo membro il doppio segno \pm

    \pm r=\frac{z-z_{V}}{c}\ \ \ \to \ \ \ z=z_{V}\pm c r

    In definitiva, le equazioni parametriche del cono sono:

    \begin{cases}x(r,\theta)=x_{V}+ar\cos(\theta)\\ y(r,\theta)=y_{V}+br\sin(\theta)\\ z=z_{V}\pm cr\end{cases}

    Di fatto, le equazioni parametriche del cono si ricavano passando alle coordinate cilindriche.

    Osservazione (doppio segno ±)

    Se nella relazione

    z=z_{V}\pm cr

    consideriamo il segno +, allora stiamo parametrizzando esclusivamente la parte superiore del cono (sopra al vertice). Se, d'altra parte, prendiamo in esame il segno negativo, stiamo parametrizzando esclusivamente la parte inferiore del cono (ossia quella che giace al di sotto del vertice).

    Esempio (Equazioni parametriche del cono)

    Parametrizzare il cono di equazione cartesiana

    z=\sqrt{x^2+y^2}

    Svolgimento: scriviamo in forma normale l'equazione del cono

    z^2=x^2+y^2 \ \ \ \to \ \ \ x^2+y^2-z^2=0

    Confrontando l'equazione ottenuta con quella in forma generale deduciamo che le coordinate del vertice sono V(0,0,0), mentre a, b\ \mbox{e} \ c sono uguali a 1:

    a=1 \ \ \ , \ \ \ b=1 \ \ \ , \ \ \ c=1

    Le informazioni in nostro possesso sono sufficienti a esplicitare le equazioni parametriche: basta sostituire i valori nelle relazioni

    x(r,\theta)=x_{V}+ar\cos(\theta) \ \ \ \to \ \ \ x(r,\theta)=r\cos(\theta)\\ \\ y(r,\theta)=y_{V}+br\sin(\theta) \ \ \ \to \ \ \ y(r,\theta)=r\sin(\theta)

    e rimpiazzare nell'equazione

    z=\sqrt{x^2+y^2}

    che diventa

    z=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\theta)} \ \ \ \to \ \ \ z=\sqrt{r^2} \ \ \ \to \ \ \ z=r

    In definitiva, le equazioni che parametrizzano il cono sono:

    \begin{cases}x(r,\theta)=r\cos(\theta)\\ y(r,\theta)=r\sin(\theta)\\ z=r\end{cases}

    dove r\ge 0\ \mbox{e} \ \theta varia nell'intervallo [0,2\pi).

    ***

    Per il momento è tutto. Potrebbero interessarti le lezioni sulle quadriche, sullo Jacobiano di cambiamenti di coordinate o ancora il tool sulle quadriche. Ti invito, infine, a usare la barra di ricerca interna: abbiamo svolto molti esercizi sulla parametrizzazione di sfera, cono e cilindro.

    Risposta di Ifrit
 
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