Soluzioni
  • Per risolvere l'equazione esponenziale

    4^{x+2}-2\cdot 4^{x+1}=2\cdot 16^{x+1}

    dobbiamo innanzitutto usare in maniera opportuna le proprietà delle potenze per poterla esprimere in forma normale. In accordo con la proprietà sul prodotto di due potenze con la stessa base (letta al contrario), possiamo scrivere le seguenti uguaglianze

    \\ 4^{x+2}=4^{x}\cdot 4^{2}=16\cdot 4^{x} \\ \\ 4^{x+1}=4^{x}\cdot 4^{1}=4\cdot 4^{x}\\ \\ 16^{x+1}=16^{x}\cdot 16^{1}=16\cdot 16^{x}

    grazie alle quali l'equazione esponenziale diventa

    \\ 16\cdot 4^{x}-2\cdot 4\cdot 4^{x}=2\cdot 16\cdot 16^{x}\\ \\ 16\cdot 4^{x}-8\cdot 4^{x}=32\cdot 16^{x}

    Per la proprietà sulla potenza di una potenza

    16^{x}=(4^{2})^{x}=4^{2\cdot x}=4^{2x}

    per cui l'equazione diventa

    16\cdot 4^{x}-8\cdot 4^{x}=32\cdot 4^{2x}

    Portiamo tutti i termini al primo membro e svolgiamo i calcoli

    8\cdot 4^{x}-32\cdot 4^{2x}=0

    Raccogliamo il fattore comune 8\cdot 4^{x}

    8\cdot 4^{x}\left[1-4\cdot 4^{x}\right]=0

    e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto che permette di spezzare l'equazione nelle seguenti

    8\cdot 4^{x}=0 \ \ \ \vee \ \ \ 1-4\cdot 4^{x}=0

    La prima non ammette soluzioni perché 8\cdot 4^{x} è prodotto di quantità positive e in quanto tale non può essere nullo per alcun valore di x.

    Per quanto concerne l'equazione

    1-4\cdot 4^{x}=0

    isoliamo 4^{x} al primo membro

    -4\cdot 4^{x}=-1 \ \ \ \to \ \ \ 4\cdot 4^{x}=1 \ \ \ \to \ \ \ 4^{x}=\frac{1}{4}

    Notato che \frac{1}{4}=4^{-1}, otteniamo

    4^{x}=4^{-1}

    Le basi sono uguali, per cui l'uguaglianza è garantita se e solo se sono uguali gli esponenti, ossia se

    x=-1

    In definitiva, l'insieme soluzione dell'equazione esponenziale è

    S=\{-1\}

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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