Un problema con le funzioni algebriche
Ciao a tutti. Ho bisogno di un aiuto... ho fatto questa funzione ma alcune cose non riesco a finirle e altre non so se siano corrette. Sapete darmi una mano? Vi prego dovrei fare cose del genere al compito e non sono sicura di nulla! Grazie :)
Si ha la funzione
s(x) =8x - 5t
e la funzione
f(x) = 2x - k / x - 3
Determinare:
1. k in modo che f(0) = 1
1= 2 (0) - k / 0 - 3
-3 = - k
k=3
2. il suo dominio verificando che esiste una corrispondenza biunivoca tra R -3 e R -2
C.E. x - 3 diverso da 0
f(x) = 2x - 3 / x - 3
?
3. la funzione inversa g(x) e il suo dominio
g(x) = f(x) ^ -1
f(x1) = f(x2)
y = 2x - 3 / x - 3
xy - 3y = 2x - 3
xy - 2x = 3y - 3
x (y - 2) = 3 (y - 1)
x = 3 (y - 1) / (y - 2)
quindi
f(x) ^ -1 = g(x) = 3 (x - 1) / (x - 2)
(co)dominio
x - 2 diverso da zero, ovvero R - (x - 2)
4. i valori g(s (x)) (t) dove t= -1 ; 2/3 e 3/2 sono gli zeri di un polinomio del terzo ordine H(t) e con x = 2
g (s(x)) = 3 (x - 1) / (x - 2)
g (8x - 5t) = 3 (8x - 5t) / 8x - 5t -2
g (t=-1) = 3 (8x - 5) / 8x + 3
g (t=2/3) = ?
g(t=3/2) = ?
5. chi è H(t) ?
Vi prego ho bisogno di aiuto
Ciao Rita,
1) Corretto.
2)
[credo che con R-3 e R-2 tu intenda il meno insiemistico]
Il dominio di f(x) è proprio R-3, con la frase "il suo dominio verificando che esiste una corrispondenza biunivoca tra R -3 e R -2" intendi che bisogna verificare che la funzione f(x) stabilisce una corrispondenza biunivoca tra R-3 e R-2?
Se è questa la richiesta, allora devi mostrare che f è iniettiva e che ha codominio R-2. Dato che mi sembra ti interessi veramente capire come funziona, ti consiglio di cercare tra le lezioni sulle funzioni reali, e di dare un'occhiata agli esercizi sulle funzioni, in cui spieghiamo i procedimenti di risoluzione. Li abbiamo ideati proprio per rendere più facile la "digestione" di questi concetti, che a volte appaiono ambigui!
Per verificare questi due fatti in un colpo solo, si può provare direttamente a determinarne la funzione inversa. Questa tu l'hai calcolata, correttamente, al punto 3) e si vede in particolare che la funzione inversa ha dominio R-2, che è l'immagine della funzione f. Dunque la funzione f è necessariamente biunivoca restringendo la sua immagine a R-2 (altrimenti non saresti riuscita a calcolarne l'inversa!). Va da sè che se invece consideri f con codominio R, allora f è solamente iniettiva ma non suriettiva (non copre il punto y=2)
3) Corretto
4) La scrittura formalmente corretta è g(s(x,t)). Comunque il procedimento che hai iniziato è giusto, sostituisci semplicemente i valori di t che ti sono dati al posto della t come hai fatto nel caso di t=1.
5) Il modo per trovare il polinomio H(t), che è del terzo ordine, consiste nell'osservare che un polinomio di grado tre si può scrivere nella forma
ax3 + bx2 + cx + d
Ci sono quattro coefficienti da determinare e dunque ci servono 4 condizioni. Tre condizioni sono fornite dal fatto che conosci tre radici (zeri) del polinomio. Se un polinomio ha tre zeri, vuol dire che si può scomporre in un prodotto di monomi tra cui
(t+1),(t-2/3),(t-3/2)
Ci manca una condizione. Non è che hai omesso qualcosa? È solo che il testo della quarta richiesta non è molto chiaro...Potresti riportare il testo tale e quale al libro/quaderno da cui lo hai preso?
Restiamo a disposizione
Risposta di Omega
Grazie mille sei stato utilissimo.
R - 2 e R - 3 è il dominio, ovvero tutto l'insieme R ad eccezione di 2 e di 3.
Per quanto riguarda H(t), è un polinomio con x = 2, più di questo non so dirti perchè le cose che ti ho scritto sono scritte esattamente così sul libro.
Risposta di Rita
Questo è chiaro, ma x=2 lo devi sostituire nella espressione di g(s(x,t)) ogni volta assieme ai vari valori di t.
Riedit: per trovare il polinomio ti basta calcolare
H(t)=(t+1)(t-2/3)(t-3/2)
e basta. Avevo letto terzo ordine ma pensavo al quarto, chiedo scusa!
Namasté - Agente Ω
Risposta di Omega