Soluzioni
  • Per semplificare l'espressione con i logaritmi

    -3\log(x^2)+\log(2x^3)+3\log\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}x}\right)

    sfrutteremo le seguenti proprietà:

    - la formula sul logaritmo del prodotto, secondo cui il logaritmo del prodotto è uguale alla somma tra i logaritmi dei fattori 

    \log_{a}(bc)=\log_{a}(b)+\log_{a}(c)

    con b>0,\ c>0,\ a>0, \ a\ne 1

    - la formula sul logaritmo del quoziente, secondo cui il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore

    \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)=\log_{a}(b)-\log_{a}(c)

    con b>0,\ c>0,\ a>0,\ a\ne 1

    - la formula sul logaritmo di una potenza, secondo cui il logaritmo della potenza è uguale al prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base della potenza

    \log_{a}(b^{c})=c\log_{a}(b)

    con b>0, \ c\in\mathbb{R},\ a>0,\ a\ne 1

    Dopo il brevissimo ripasso, riprendiamo l'espressione

    -3\log(x^2)+\log(2x^3)+3\log\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}x}\right)=

    Semplifichiamo \log(x^2) con la regola sul logaritmo della potenza

    \\ =-3\cdot 2\log(x)+\log(2x^3)+3\log\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}x}\right)= \\ \\ \\ =-6\log(x)+\log(2x^3)+3\log\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}x}\right)=

    Sfruttiamo la regola del logaritmo del prodotto per semplificare \log(2x^3)

    =-6\log(x)+\log(2)+\log(x^3)+3\log\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}x}\right)=

    e quella del quoziente per semplificare l'ultimo logaritmo

    =-6\log(x)+\log(2)+\log(x^3)+3\left(\log(1)-\log(\sqrt[3]{2}x)\right)=

    A questo punto usiamo nuovamente la proprietà sul logaritmo di una potenza su \log(x^3) e quella sul logaritmo del prodotto per \log(\sqrt[3]{2}x)

    \\ =-6\log(x)+\log(2)+3\log(x)+3\left[\log(1)-\left(\log(\sqrt[3]{2})+\log(x)\right)\right]= \\ \\ \\ =-6\log(x)+\log(2)+3\log(x)+3\left[-\log(\sqrt[3]{2})-\log(x)\right]=

    Interviene la definizione di potenza con esponente fratto che ci permette di rielaborare \sqrt[3]{2} come 2^{\frac{1}{3}}

    \\ =-6\log(x)+\log(2)+3\log(x)+3\left[-\log\left(2^{\tfrac{1}{3}}\right)-\log(x)\right]= \\ \\ \\ =-6\log(x)+\log(2)+3\log(x)-3\cdot\frac{1}{3}\log(2)-3\log(x)=\\ \\ \\ =-6\log(x)+\log(2)+3\log(x)-\log(2)-3\log(x)=

    Abbiamo praticamente finito: bisogna solamente sommare tra loro i coefficienti dei termini simili

    =(-6+3-3)\log(x)+(1-1)\log(2)=\\ \\ =-6\log(x)

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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