Semplificare una espressione con i logaritmi

Question

Mi serve il vostro aiuto per semplificare un'espressione con i logaritmi. So per certo che bisogna usare le proprietà dei logaritmi ed eventualmente quelle delle potenze, ma non capisco quali. Semplificare la seguente espressione−3log(x^2)+log(2x^3)+3log((1)/([3]√(2)x)) dove x è un qualsiasi numero reale positivo. Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per semplificare l'espressione con i logaritmi−3log(x^2)+log(2x^3)+3log((1)/([3]√(2)x)) sfrutteremo le seguenti proprietà:−la formula sul logaritmo del prodotto, secondo cui il logaritmo del prodotto è uguale alla somma tra i logaritmi dei fattori log_(a)(bc) = log_(a)(b)+log_(a)(c) con b > 0, c > 0, a > 0, a ne 1−la formula sul logaritmo del quoziente, secondo cui il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore log_(a)((b)/(c)) = log_(a)(b)−log_(a)(c) con b > 0, c > 0, a > 0, a ne 1−la formula sul logaritmo di una potenza, secondo cui il logaritmo della potenza è uguale al prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base della potenza log_(a)(b^(c)) = clog_(a)(b) con b > 0, c∈R, a > 0, a ne 1 Dopo il brevissimo ripasso, riprendiamo l'espressione−3log(x^2)+log(2x^3)+3log((1)/([3]√(2)x)) = Semplifichiamo log(x^2) con la regola sul logaritmo della potenza ; = −3·2log(x)+log(2x^3)+3log((1)/([3]√(2)x)) = −6log(x)+log(2x^3)+3log((1)/([3]√(2)x)) = Sfruttiamo la regola del logaritmo del prodotto per semplificare log(2x^3) = −6log(x)+log(2)+log(x^3)+3log((1)/([3]√(2)x)) = e quella del quoziente per semplificare l'ultimo logaritmo = −6log(x)+log(2)+log(x^3)+3(log(1)−log([3]√(2)x)) = A questo punto usiamo nuovamente la proprietà sul logaritmo di una potenza su log(x^3) e quella sul logaritmo del prodotto per log([3]√(2)x) ; = −6log(x)+log(2)+3log(x)+3[log(1)−(log([3]√(2))+log(x))] = −6log(x)+log(2)+3log(x)+3[−log([3]√(2))−log(x)] = Interviene la definizione di potenza con esponente fratto che ci permette di rielaborare [3]√(2) come 2^((1)/(3)) ; = −6log(x)+log(2)+3log(x)+3[−log(2^((1)/(3)))−log(x)] = −6log(x)+log(2)+3log(x)−3·(1)/(3)log(2)−3log(x) = −6log(x)+log(2)+3log(x)−log(2)−3log(x) = Abbiamo praticamente finito: bisogna solamente sommare tra loro i coefficienti dei termini simili = (−6+3−3)log(x)+(1−1)log(2) = −6log(x) È fatta!