Semplificare una espressione con i logaritmi

Mi serve il vostro aiuto per semplificare un'espressione con i logaritmi. So per certo che bisogna usare le proprietà dei logaritmi ed eventualmente quelle delle potenze, ma non capisco quali.

Semplificare la seguente espressione

$-3\log(x^2)+\log(2x^3)+3\log\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}x}\right)$

dove è un qualsiasi numero reale positivo.

Grazie.

Domanda di

Soluzioni

Per semplificare l'espressione con i logaritmi
$-3\log(x^2)+\log(2x^3)+3\log\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}x}\right)$
sfrutteremo le seguenti proprietà:
- la formula sul logaritmo del prodotto, secondo cui il logaritmo del prodotto è uguale alla somma tra i logaritmi dei fattori
$\log_{a}(bc)=\log_{a}(b)+\log_{a}(c)$
con $b>0,\ c>0,\ a>0, \ a\ne 1$
- la formula sul logaritmo del quoziente, secondo cui il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore
$\log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)=\log_{a}(b)-\log_{a}(c)$
con $b>0,\ c>0,\ a>0,\ a\ne 1$
- la formula sul logaritmo di una potenza, secondo cui il logaritmo della potenza è uguale al prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base della potenza
$\log_{a}(b^{c})=c\log_{a}(b)$
con $b>0, \ c\in\mathbb{R},\ a>0,\ a\ne 1$
Dopo il brevissimo ripasso, riprendiamo l'espressione
$-3\log(x^2)+\log(2x^3)+3\log\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}x}\right)=$
Semplifichiamo $\log(x^2)$ con la regola sul logaritmo della potenza
$\\ =-3\cdot 2\log(x)+\log(2x^3)+3\log\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}x}\right)= \\ \\ \\ =-6\log(x)+\log(2x^3)+3\log\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}x}\right)=$
Sfruttiamo la regola del logaritmo del prodotto per semplificare $\log(2x^3)$
$=-6\log(x)+\log(2)+\log(x^3)+3\log\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}x}\right)=$
e quella del quoziente per semplificare l'ultimo logaritmo
$=-6\log(x)+\log(2)+\log(x^3)+3\left(\log(1)-\log(\sqrt[3]{2}x)\right)=$
A questo punto usiamo nuovamente la proprietà sul logaritmo di una potenza su $\log(x^3)$ e quella sul logaritmo del prodotto per $\log(\sqrt[3]{2}x)$
$\\ =-6\log(x)+\log(2)+3\log(x)+3\left[\log(1)-\left(\log(\sqrt[3]{2})+\log(x)\right)\right]= \\ \\ \\ =-6\log(x)+\log(2)+3\log(x)+3\left[-\log(\sqrt[3]{2})-\log(x)\right]=$
Interviene la definizione di potenza con esponente fratto che ci permette di rielaborare $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$
$\\ =-6\log(x)+\log(2)+3\log(x)+3\left[-\log\left(2^{\tfrac{1}{3}}\right)-\log(x)\right]= \\ \\ \\ =-6\log(x)+\log(2)+3\log(x)-3\cdot\frac{1}{3}\log(2)-3\log(x)=\\ \\ \\ =-6\log(x)+\log(2)+3\log(x)-\log(2)-3\log(x)=$
Abbiamo praticamente finito: bisogna solamente sommare tra loro i coefficienti dei termini simili
$=(-6+3-3)\log(x)+(1-1)\log(2)=\\ \\ =-6\log(x)$
È fatta!
Risposta di Ifrit