Soluzioni
  • Arrivo a risponderti leoncinakiara

    Risposta di Alpha
  • Direi che la soluzione dell'esercizio si ottiene tramite un confronto asintotico tra serie.

    La serie diverge per β=1, usiamo il criterio del confronto:

    Cioè, siano

     

    \sum_{n=1}^{\infty} a_n

     

    e

     

    \sum_{n=1}^{\infty} b_n

     

    due serie. Se

     

    a_n\leq b_n

     

    e ∑bnè convergente, allora anche ∑an è convergente.

    Allo stesso modo se ∑an è divergente avremo che ∑bn è divergente: se β=1, abbiamo

     

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log(n)}{n}\geq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

     

    quindi la nostra serie risulta più grande della serie armonica, che sappiamo diverge a più infinito, quindi per β=1 la serie è divergente.

     

    Cosa succede per β maggiore di 1? Usiamo il criterio di condensazione: proviamo la convergenza della serie

     

    \sum_{n=1}^{\infty}2^n a_{2^n}

     

    \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\log^{\beta}(2^n)}{2^{\beta n}}\right)

     

    che è chiaramente convergente per β strettamente maggiore di 1. Infatti l'eponenziale al denominatore porta rapidissimamente a zero gli addendi della serie.

     

    Dunque la serie è convergente per β>1.

    Risposta di Alpha
  • ci sono altri criteri per determinare la convergenza? quello della condensazione io non lo conosco. il prof non l'ha mai spiegato. cmq grazie mille per la tua risposta.

     

    Risposta di leoncinakiara
  • Così ad occhio mi verrebbe da maggiorare la serie facendo questa osservazione:

     

     \log n=log \sqrt[\beta]{n^{\beta}}=\beta\log \sqrt[\beta]{n}<\beta\sqrt[\beta]{n}

    Risposta di Alpha
 
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