Soluzioni
  • Ciao Dav09 :)

    vediamo come affrontare il problema punto per punto.

     

    1) Per prima cosa osserva che il triangolo OBC è un triangolo isoscele, e che il vertice B ha coordinate (1,2).

    Dobbiamo trovare le coordinate del vertice C: per farlo, con il teorema di Pitagora calcoliamo la lunghezza del segmento OH usando le lunghezze dell'ipotenusa OB e del cateto BH, dove H indica il piede dell'altezza del triangolo OBC relativa alla base OC.

    Troverai che OH=1.

    Dunque essendo l'altezza relativa alla base anche mediana e bisettrice in un triangolo isoscele, abbiamo che C=(2,0).

    L'area del triangolo è

    A = (OC·BH)/(2) = 2

     

    2) Usiamo la trasformazione

    x'= 2x

    y'= 4y

    per determinare i vertici del triangolo nel sistema di riferimento: avendo a che fare con una trasformazione lineare nel piano, si tratterà sicuramente di un triangolo.

    Infatti una trasformazione lineare manda rette in rette. Abbiamo che

    O = (0,0)arrow O'= (0,0)

    B = (1,2)arrow B'= (2,8)

    C = (2,0)arrow C'= (4,0)

    e quindi l'area nel nuovo sistema di riferimento è data da

    A'= (O'C'·B'H')/(2) = 16

     

    3) I vertici del triangolo saranno, nel nuovo sistema di riferimento

    O = (0,0)arrow O''= (0,0)

    B = (1,2)arrow O''= (a,2b)

    B = (2,0)arrow O''= (2a,0)

    Quindi l'area del triangolo O''B''C'' sarà

    A''= (O''C''·B''H'')/(2) = 2ab

    e il rapporto tra le aree

    (A)/(A'') = (1)/(ab)

     

    4) Per determinare i parametri a,b richiesti, imponiamo:

    - che la retta y=2x diventi y'=2x' nel nuovo sistema di coordinate;

    y'= (2b)/(a)x'

    cioè

    (2b)/(a) = 2

    cioè

    a = b

    - che l'area del nuovo triangolo sia 25, quindi

    2ab = 25

    Si ricava dalle due condizioni

    a = b = (5)/(√(2)).


    5) Per trovare l'ampiezza degli angoli alla base, osserva che ti basta calcolare

    O'C'B'= B'O'C'= arctan(((2b)/(a))) = arctan(2)

    L'angolo O'B'C' si ricava invece come

    O'B'C'= π-2arctan(2)

     

    6) Basta scrivere, guardando le lunghezze dei cateti del triangolo O'B'C', usiamo i teoremi trigonometrici per i triangoli rettangoli

    2b = O'B'sin(α)

    e

    a = O'B'cos(α)

    da quest'ultima si ricava O'B' e la si sotituisce nella precedente. In questo modo abbiamo espresso b in termini del parametro a e dell'angolo alpha. La lunghezza del lato O'B' si calcola poi con la solita formula della distanza tra due punti.

     

    7) Se a=2b, per quanto visto al punto 5) si trova che

    α = arctan(1) = 45^(o)

     

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori - Geometria