Risolvere un problema sulle trasformazioni geometriche del piano
Vi posto un esercizio sulle trasformazioni goniometriche nel piano cartesiano, con un triangolo isoscele.
a) Rappresentare il triangolo isoscele con vertice O nell’origine, vertice B sulla retta di equazione y=2x nel punto di ascissa 1 e vertice C sull’asse X in maniera tale che gli angoli BOC e BCO siano congruenti.
b) Applicare al triangolo la trasformazione di equazioni (sistema tra x'=2x y'=4y, e rappresentare il trasformato calcolandone l’area.
c) Applicare al triangolo del punto a) la trasformazione di equazioni (sistema tra x'=ax y'=4y, e calcolare in funzione dei parametri a e b il rapporto tra le aree del triangolo iniziale e del trasformato.
d) Determinare i valori dei parametri a e b per cui la trasformazione manda il triangolo OBC in un triangolo isoscele con vertice B’ sempre sulla retta y=2x e area pari a 25.
e) Determinare l’ampiezza degli angoli interni del triangolo trasformato risultante nel punto d).
f) Esprimere la lunghezza del lato O'B' del triangolo risultante dalla trasformazione in funzione di a e dell'angolo α tra la base O'C' e il lato O'B'.
g) Calcolare il valore di α nel caso in cui a=2b.
Grazie a tutti!
Ciao Dav09 :)
vediamo come affrontare il problema punto per punto.
1) Per prima cosa osserva che il triangolo OBC è un triangolo isoscele, e che il vertice B ha coordinate (1,2).
Dobbiamo trovare le coordinate del vertice C: per farlo, con il teorema di Pitagora calcoliamo la lunghezza del segmento OH usando le lunghezze dell'ipotenusa OB e del cateto BH, dove H indica il piede dell'altezza del triangolo OBC relativa alla base OC.
Troverai che OH=1.
Dunque essendo l'altezza relativa alla base anche mediana e bisettrice in un triangolo isoscele, abbiamo che C=(2,0).
2) Usiamo la trasformazione
per determinare i vertici del triangolo nel sistema di riferimento: avendo a che fare con una trasformazione lineare nel piano, si tratterà sicuramente di un triangolo.
Infatti una trasformazione lineare manda rette in rette. Abbiamo che
e quindi l'area nel nuovo sistema di riferimento è data da
3) I vertici del triangolo saranno, nel nuovo sistema di riferimento
Quindi l'area del triangolo O''B''C'' sarà
e il rapporto tra le aree
4) Per determinare i parametri a,b richiesti, imponiamo:
- che la retta y=2x diventi y'=2x' nel nuovo sistema di coordinate;
cioè
cioè
- che l'area del nuovo triangolo sia 25, quindi
Si ricava dalle due condizioni
.
5) Per trovare l'ampiezza degli angoli alla base, osserva che ti basta calcolare
L'angolo O'B'C' si ricava invece come
6) Basta scrivere, guardando le lunghezze dei cateti del triangolo O'B'C', usiamo i teoremi trigonometrici per i triangoli rettangoli
e
da quest'ultima si ricava O'B' e la si sotituisce nella precedente. In questo modo abbiamo espresso b in termini del parametro a e dell'angolo alpha. La lunghezza del lato O'B' si calcola poi con la solita formula della distanza tra due punti.
7) Se a=2b, per quanto visto al punto 5) si trova che
Namasté!
Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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