Soluzioni
  • Ciao Dav09 :)

    vediamo come affrontare il problema punto per punto.

     

    1) Per prima cosa osserva che il triangolo OBC è un triangolo isoscele, e che il vertice B ha coordinate (1,2).

    Dobbiamo trovare le coordinate del vertice C: per farlo, con il teorema di Pitagora calcoliamo la lunghezza del segmento OH usando le lunghezze dell'ipotenusa OB e del cateto BH, dove H indica il piede dell'altezza del triangolo OBC relativa alla base OC.

    Troverai che OH=1.

    Dunque essendo l'altezza relativa alla base anche mediana e bisettrice in un triangolo isoscele, abbiamo che C=(2,0).

    L'area del triangolo è

    A=\frac{OC\cdot BH}{2}=2

     

    2) Usiamo la trasformazione

    x'=2x

    y'=4y

    per determinare i vertici del triangolo nel sistema di riferimento: avendo a che fare con una trasformazione lineare nel piano, si tratterà sicuramente di un triangolo.

    Infatti una trasformazione lineare manda rette in rette. Abbiamo che

    O=(0,0)\rightarrow O'=(0,0)

    B=(1,2)\rightarrow B'=(2,8)

    C=(2,0)\rightarrow C'=(4,0)

    e quindi l'area nel nuovo sistema di riferimento è data da

    A'=\frac{O'C'\cdot B'H'}{2}=16

     

    3) I vertici del triangolo saranno, nel nuovo sistema di riferimento

    O=(0,0)\rightarrow O''=(0,0)

    B=(1,2)\rightarrow O''=(a,2b)

    B=(2,0)\rightarrow O''=(2a,0)

    Quindi l'area del triangolo O''B''C'' sarà

    A''=\frac{O''C''\cdot B''H''}{2}=2ab

    e il rapporto tra le aree

    \frac{A}{A''}=\frac{1}{ab}

     

    4) Per determinare i parametri a,b richiesti, imponiamo:

    - che la retta y=2x diventi y'=2x' nel nuovo sistema di coordinate;

    y'=\frac{2b}{a}x'

    cioè

    \frac{2b}{a}=2

    cioè

    a=b

    - che l'area del nuovo triangolo sia 25, quindi

    2ab=25

    Si ricava dalle due condizioni

    a=b=\frac{5}{\sqrt{2}}.


    5) Per trovare l'ampiezza degli angoli alla base, osserva che ti basta calcolare

    O'C'B'=B'O'C'=\arctan{\left(\frac{2b}{a}\right)}=\arctan{(2)}

    L'angolo O'B'C' si ricava invece come

    O'B'C'=\pi-2\arctan{(2)}

     

    6) Basta scrivere, guardando le lunghezze dei cateti del triangolo O'B'C', usiamo i teoremi trigonometrici per i triangoli rettangoli

    2b=O'B'\sin{(\alpha)}

    e

    a=O'B'\cos{(\alpha)}

    da quest'ultima si ricava O'B' e la si sotituisce nella precedente. In questo modo abbiamo espresso b in termini del parametro a e dell'angolo alpha. La lunghezza del lato O'B' si calcola poi con la solita formula della distanza tra due punti.

     

    7) Se a=2b, per quanto visto al punto 5) si trova che

    \alpha=\arctan{(1)}=45^{o}

     

    Namasté!

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Geometria