Risolvere un problema sulle trasformazioni geometriche del piano

Vi posto un esercizio sulle trasformazioni goniometriche nel piano cartesiano, con un triangolo isoscele.

a) Rappresentare il triangolo isoscele con vertice O nell’origine, vertice B sulla retta di equazione y=2x nel punto di ascissa 1 e vertice C sull’asse X in maniera tale che gli angoli BOC e BCO siano congruenti.

b) Applicare al triangolo la trasformazione di equazioni (sistema tra x'=2x y'=4y, e rappresentare il trasformato calcolandone l’area.

c) Applicare al triangolo del punto a) la trasformazione di equazioni (sistema tra x'=ax y'=4y, e calcolare in funzione dei parametri a e b il rapporto tra le aree del triangolo iniziale e del trasformato.

d) Determinare i valori dei parametri a e b per cui la trasformazione manda il triangolo OBC in un triangolo isoscele con vertice B’ sempre sulla retta y=2x e area pari a 25.

e) Determinare l’ampiezza degli angoli interni del triangolo trasformato risultante nel punto d).

f) Esprimere la lunghezza del lato O'B' del triangolo risultante dalla trasformazione in funzione di a e dell'angolo α tra la base O'C' e il lato O'B'.

g) Calcolare il valore di α nel caso in cui a=2b.

Grazie a tutti!

In Superiori - Geometria - Domanda di dav09

Soluzioni

Ciao Dav09 :)

vediamo come affrontare il problema punto per punto.

1) Per prima cosa osserva che il triangolo OBC è un triangolo isoscele, e che il vertice B ha coordinate (1,2).

Dobbiamo trovare le coordinate del vertice C: per farlo, con il teorema di Pitagora calcoliamo la lunghezza del segmento OH usando le lunghezze dell'ipotenusa OB e del cateto BH, dove H indica il piede dell'altezza del triangolo OBC relativa alla base OC.

Troverai che OH=1.

Dunque essendo l'altezza relativa alla base anche mediana e bisettrice in un triangolo isoscele, abbiamo che C=(2,0).

L'area del triangolo è

$A=\frac{OC\cdot BH}{2}=2$

2) Usiamo la trasformazione

per determinare i vertici del triangolo nel sistema di riferimento: avendo a che fare con una trasformazione lineare nel piano, si tratterà sicuramente di un triangolo.

Infatti una trasformazione lineare manda rette in rette. Abbiamo che

$O=(0,0)\rightarrow O'=(0,0)$

$B=(1,2)\rightarrow B'=(2,8)$

$C=(2,0)\rightarrow C'=(4,0)$

e quindi l'area nel nuovo sistema di riferimento è data da

$A'=\frac{O'C'\cdot B'H'}{2}=16$

3) I vertici del triangolo saranno, nel nuovo sistema di riferimento

$O=(0,0)\rightarrow O''=(0,0)$

$B=(1,2)\rightarrow O''=(a,2b)$

$B=(2,0)\rightarrow O''=(2a,0)$

Quindi l'area del triangolo O''B''C'' sarà

$A''=\frac{O''C''\cdot B''H''}{2}=2ab$

e il rapporto tra le aree

$\frac{A}{A''}=\frac{1}{ab}$

4) Per determinare i parametri a,b richiesti, imponiamo:

- che la retta y=2x diventi y'=2x' nel nuovo sistema di coordinate;

$y'=\frac{2b}{a}x'$

cioè

$\frac{2b}{a}=2$

cioè

- che l'area del nuovo triangolo sia 25, quindi

Si ricava dalle due condizioni

$a=b=\frac{5}{\sqrt{2}}$ .

5) Per trovare l'ampiezza degli angoli alla base, osserva che ti basta calcolare

$O'C'B'=B'O'C'=\arctan{\left(\frac{2b}{a}\right)}=\arctan{(2)}$

L'angolo O'B'C' si ricava invece come

$O'B'C'=\pi-2\arctan{(2)}$

6) Basta scrivere, guardando le lunghezze dei cateti del triangolo O'B'C', usiamo i teoremi trigonometrici per i triangoli rettangoli

$2b=O'B'\sin{(\alpha)}$

e

$a=O'B'\cos{(\alpha)}$

da quest'ultima si ricava O'B' e la si sotituisce nella precedente. In questo modo abbiamo espresso b in termini del parametro a e dell'angolo alpha. La lunghezza del lato O'B' si calcola poi con la solita formula della distanza tra due punti.

7) Se a=2b, per quanto visto al punto 5) si trova che

$\alpha=\arctan{(1)}=45^{o}$

Namasté!

Risposta di Omega