Risolvere un problema sulle trasformazioni geometriche del piano

Vi posto un esercizio sulle trasformazioni goniometriche nel piano cartesiano, con un triangolo isoscele.

a) Rappresentare il triangolo isoscele con vertice O nell’origine, vertice B sulla retta di equazione y=2x nel punto di ascissa 1 e vertice C sull’asse X in maniera tale che gli angoli BOC e BCO siano congruenti.

b) Applicare al triangolo la trasformazione di equazioni (sistema tra x'=2x y'=4y, e rappresentare il trasformato calcolandone l’area.

c) Applicare al triangolo del punto a) la trasformazione di equazioni (sistema tra x'=ax y'=4y, e calcolare in funzione dei parametri a e b il rapporto tra le aree del triangolo iniziale e del trasformato.

d) Determinare i valori dei parametri a e b per cui la trasformazione manda il triangolo OBC in un triangolo isoscele con vertice B’ sempre sulla retta y=2x e area pari a 25.

e) Determinare l’ampiezza degli angoli interni del triangolo trasformato risultante nel punto d).

f) Esprimere la lunghezza del lato O'B' del triangolo risultante dalla trasformazione in funzione di a e dell'angolo α tra la base O'C' e il lato O'B'.

g) Calcolare il valore di α nel caso in cui a=2b.

Grazie a tutti!

Domanda di dav09
Soluzione

Ciao Dav09 :)

vediamo come affrontare il problema punto per punto.

1) Per prima cosa osserva che il triangolo OBC è un triangolo isoscele, e che il vertice B ha coordinate (1,2).

Dobbiamo trovare le coordinate del vertice C: per farlo, con il teorema di Pitagora calcoliamo la lunghezza del segmento OH usando le lunghezze dell'ipotenusa OB e del cateto BH, dove H indica il piede dell'altezza del triangolo OBC relativa alla base OC.

Troverai che OH=1.

Dunque essendo l'altezza relativa alla base anche mediana e bisettrice in un triangolo isoscele, abbiamo che C=(2,0).

L'area del triangolo è

A = (OC·BH)/(2) = 2

2) Usiamo la trasformazione

x'= 2x

y'= 4y

per determinare i vertici del triangolo nel sistema di riferimento: avendo a che fare con una trasformazione lineare nel piano, si tratterà sicuramente di un triangolo.

Infatti una trasformazione lineare manda rette in rette. Abbiamo che

O = (0,0) →  O'= (0,0)

B = (1,2) →  B'= (2,8)

C = (2,0) →  C'= (4,0)

e quindi l'area nel nuovo sistema di riferimento è data da

A'= (O'C'·B'H')/(2) = 16

3) I vertici del triangolo saranno, nel nuovo sistema di riferimento

O = (0,0) →  O''= (0,0)

B = (1,2) →  O''= (a,2b)

B = (2,0) →  O''= (2a,0)

Quindi l'area del triangolo O''B''C'' sarà

A''= (O''C''·B''H'')/(2) = 2ab

e il rapporto tra le aree

(A)/(A'') = (1)/(ab)

4) Per determinare i parametri a,b richiesti, imponiamo:

- che la retta y=2x diventi y'=2x' nel nuovo sistema di coordinate;

y'= (2b)/(a)x'

cioè

(2b)/(a) = 2

cioè

a = b

- che l'area del nuovo triangolo sia 25, quindi

2ab = 25

Si ricava dalle due condizioni

a = b = (5)/(√(2)).


5) Per trovare l'ampiezza degli angoli alla base, osserva che ti basta calcolare

O'C'B'= B'O'C'= arctan(((2b)/(a))) = arctan(2)

L'angolo O'B'C' si ricava invece come

O'B'C'= π−2arctan(2)

6) Basta scrivere, guardando le lunghezze dei cateti del triangolo O'B'C', usiamo i teoremi trigonometrici per i triangoli rettangoli

2b = O'B'sin(α)

e

a = O'B'cos(α)

da quest'ultima si ricava O'B' e la si sotituisce nella precedente. In questo modo abbiamo espresso b in termini del parametro a e dell'angolo alpha. La lunghezza del lato O'B' si calcola poi con la solita formula della distanza tra due punti.

7) Se a=2b, per quanto visto al punto 5) si trova che

α = arctan(1) = 45^(o)

Namasté!

Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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Domande della categoria Superiori - Geometria
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