Ciao Dav09 :)
vediamo come affrontare il problema punto per punto.
1) Per prima cosa osserva che il triangolo OBC è un triangolo isoscele, e che il vertice B ha coordinate (1,2).
Dobbiamo trovare le coordinate del vertice C: per farlo, con il teorema di Pitagora calcoliamo la lunghezza del segmento OH usando le lunghezze dell'ipotenusa OB e del cateto BH, dove H indica il piede dell'altezza del triangolo OBC relativa alla base OC.
Troverai che OH=1.
Dunque essendo l'altezza relativa alla base anche mediana e bisettrice in un triangolo isoscele, abbiamo che C=(2,0).
2) Usiamo la trasformazione
per determinare i vertici del triangolo nel sistema di riferimento: avendo a che fare con una trasformazione lineare nel piano, si tratterà sicuramente di un triangolo.
Infatti una trasformazione lineare manda rette in rette. Abbiamo che
e quindi l'area nel nuovo sistema di riferimento è data da
3) I vertici del triangolo saranno, nel nuovo sistema di riferimento
Quindi l'area del triangolo O''B''C'' sarà
e il rapporto tra le aree
4) Per determinare i parametri a,b richiesti, imponiamo:
- che la retta y=2x diventi y'=2x' nel nuovo sistema di coordinate;
cioè
cioè
- che l'area del nuovo triangolo sia 25, quindi
Si ricava dalle due condizioni
.
5) Per trovare l'ampiezza degli angoli alla base, osserva che ti basta calcolare
L'angolo O'B'C' si ricava invece come
6) Basta scrivere, guardando le lunghezze dei cateti del triangolo O'B'C', usiamo i teoremi trigonometrici per i triangoli rettangoli
e
da quest'ultima si ricava O'B' e la si sotituisce nella precedente. In questo modo abbiamo espresso b in termini del parametro a e dell'angolo alpha. La lunghezza del lato O'B' si calcola poi con la solita formula della distanza tra due punti.
7) Se a=2b, per quanto visto al punto 5) si trova che
Namasté!
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