Risolvere un problema sulle trasformazioni geometriche del piano

Question

Vi posto un esercizio sulle trasformazioni goniometriche nel piano cartesiano, con un triangolo isoscele. a) Rappresentare il triangolo isoscele con vertice O nell’origine, vertice B sulla retta di equazione y = 2x nel punto di ascissa 1 e vertice C sull’asse X in maniera tale che gli angoli BOC e BCO siano congruenti. b) Applicare al triangolo la trasformazione di equazioni (sistema tra x' = 2x y' = 4y, e rappresentare il trasformato calcolandone l’area. c) Applicare al triangolo del punto a) la trasformazione di equazioni (sistema tra x' = ax y' = 4y, e calcolare in funzione dei parametri a e b il rapporto tra le aree del triangolo iniziale e del trasformato. d) Determinare i valori dei parametri a e b per cui la trasformazione manda il triangolo OBC in un triangolo isoscele con vertice B’ sempre sulla retta y = 2x e area pari a 25. e) Determinare l’ampiezza degli angoli interni del triangolo trasformato risultante nel punto d). f) Esprimere la lunghezza del lato O'B' del triangolo risultante dalla trasformazione in funzione di a e dell'angolo α tra la base O'C' e il lato O'B'. g) Calcolare il valore di α nel caso in cui a = 2b. Grazie a tutti!

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Ciao Dav09 :)

vediamo come affrontare il problema punto per punto.

1) Per prima cosa osserva che il triangolo OBC è un triangolo isoscele, e che il vertice B ha coordinate (1,2).

Dobbiamo trovare le coordinate del vertice C: per farlo, con il teorema di Pitagora calcoliamo la lunghezza del segmento OH usando le lunghezze dell'ipotenusa OB e del cateto BH, dove H indica il piede dell'altezza del triangolo OBC relativa alla base OC.

Troverai che OH=1.

Dunque essendo l'altezza relativa alla base anche mediana e bisettrice in un triangolo isoscele, abbiamo che C=(2,0).

L'area del triangolo è

2) Usiamo la trasformazione

per determinare i vertici del triangolo nel sistema di riferimento: avendo a che fare con una trasformazione lineare nel piano, si tratterà sicuramente di un triangolo.

Infatti una trasformazione lineare manda rette in rette. Abbiamo che

e quindi l'area nel nuovo sistema di riferimento è data da

3) I vertici del triangolo saranno, nel nuovo sistema di riferimento

Quindi l'area del triangolo O''B''C'' sarà

e il rapporto tra le aree

4) Per determinare i parametri a,b richiesti, imponiamo:

- che la retta y=2x diventi y'=2x' nel nuovo sistema di coordinate;

cioè

- che l'area del nuovo triangolo sia 25, quindi

Si ricava dalle due condizioni

.

5) Per trovare l'ampiezza degli angoli alla base, osserva che ti basta calcolare

L'angolo O'B'C' si ricava invece come

6) Basta scrivere, guardando le lunghezze dei cateti del triangolo O'B'C', usiamo i teoremi trigonometrici per i triangoli rettangoli

e

da quest'ultima si ricava O'B' e la si sotituisce nella precedente. In questo modo abbiamo espresso b in termini del parametro a e dell'angolo alpha. La lunghezza del lato O'B' si calcola poi con la solita formula della distanza tra due punti.

7) Se a=2b, per quanto visto al punto 5) si trova che

Namasté!