Soluzioni
  • Punto (a)

    La funzione potenza con esponente pari

    f(x)=x^2

    nel punto (a) è definita sull'intervallo [-3,-1], informazione questa di fondamentale importanza perché garantisce che f(x) è una funzione iniettiva. Sottolineiamo, infatti, che se il dominio fosse l'intero asse reale, o un qualsiasi intervallo contenente sia numeri negativi che numeri positivi la definizione di iniettività verrebbe violata.

    Affinché sussista l'uguaglianza

    f(x_1)=f(x_2) \ \to \ x_1^2=x_2^2

    dovremmo richiedere che

    x_1=-x_2 \ \mbox{oppure} \ x_1=x_2

    ricavando difatti due soluzioni. Nel caso in esame, però, lavoriamo esclusivamente su un intervallo di numeri reali negativi e ciò garantisce la concordanza di x_1\ \mbox{e} \ x_2. La condizione x_1=-x_2 deve essere scartata perché individua sempre e comunque coppie di valori di segno opposto (eccetto per x_1=0=x_2) pertanto l'unica soluzione accettabile è x_1=x_2.

    Per verificare che f(x) sia una funzione suriettiva iniziamo con l'osservare che l'intestazione di f(x) fornisce esplicitamente il codominio

    Cod(f)=\mathbb{R}=(-\infty, +\infty)

    Se la funzione fosse suriettiva, comunque si fissi y\in Cod(f)=\mathbb{R}, esisterebbe almeno un elemento x dell'intervallo [-3,-1] che realizza l'uguaglianza

    y=x^2

    ma così non è: basta attribuire ad y un qualsiasi valore negativo per rendere l'uguaglianza impossibile. Aiutandosi con il grafico di f(x), che è una parabola convessa con vertice in V(0,0) e passante per il punto P(1,1), ci si rende subito conto che la funzione trasforma l'intervallo [-3,-1] nell'intervallo [1,9].

    In termini tecnici, stiamo asserendo che l'immagine dell'intervallo [-3,-1] mediante f(x) è l'intervallo [1,9]

    Im_{f}([-3,-1])=[1,9]

    Se restringessimo il codominio all'immagine, ossia se considerassimo la funzione

    f:[-3,-1]\to [1,9]\ \ \ ;\ \ \ f(x)=x^2

    allora f(x) sarebbe sia iniettiva che suriettiva e dunque risulterebbe una funzione biunivoca

    (b) Dall'analisi fatta nel punto (a) concludiamo subito che la funzione

    \\ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ \ \ ;\ \ \ f(x)=x^2

    non è né iniettiva né suriettiva e lo si evince anche dal grafico della stessa, che coincide con la parabola convessa con vertice nell'origine e passante per il punto P(1,1).

    Risposta di Ifrit
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