Soluzioni
  • Consideriamo la funzione

    f(x)=x^3+3

    Essa è definita sul tutto l'asse dei numeri reali perché di tipo polinomiale, vale a dire

    Dom(f)=\mathbb{R}

    inoltre è una funzione iniettiva, e per stabilirlo possiamo avvalerci della definizione. Siano x_1, \ x_2 due elementi del dominio: se l'equazione

    f(x_1)=f(x_2)

    è realizzata unicamente dall'uguaglianza x_1=x_2 allora la definizione di iniettività è soddisfatta. Nel caso in esame f(x_1)=f(x_2) si traduce nella relazione

    x_1^3+3=x_2^3+3 \ \to \ x_1^3=x_2^3

    da cui segue

    x_1=x_2

    pertanto f(x) è una funzione iniettiva. Per mostrare che f(x) è una funzione suriettiva, consideriamo la relazione

    f(x)=y \ \to \ x^3+3=y

    ed esprimiamo x in funzione di y. Indipendentemente dal valore di y, esiste un elemento x del dominio che verifica l'equazione

    x^3+3=y \ \to \ x^3=y-3

    Estraendo la radice cubica, infatti, ricaviamo 

    x=\sqrt[3]{y-3}

    Ciò dimostra che l'immagine della funzione coincide con \mathbb{R}, il quale coincide con il codominio di f(x)

    Im(f)=\mathbb{R}=Cod(f)

    e dunque f(x) è una funzione suriettiva.

    I passaggi seguiti garantiscono che f(x) è una funzione biettiva e in quanto tale è una funzione invertibile, siamo pertanto autorizzati a determinare l'espressione analitica della funzione inversa di f(x).

    In realtà, non siamo molto lontani dalla conclusione: è sufficiente considerare l'uguaglianza

    x=\sqrt[3]{y-3}

    e cambiare il ruolo delle variabili, così da ottenere

    y=\sqrt[3]{x-3}

    L'espressione dell'inversa di f(x) è dunque

    f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-3}

    Risposta di Ifrit
 
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