Un equazione fratta, come posso risolverla?

Dobbiamo determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione fratta di primo grado

Proprio perché l'incognita si manifesta anche al denominatore dobbiamo imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli.

Osserviamo che sono polinomi opposti tra loro, pertanto se il primo è non nullo lo sarà necessariamente anche il secondo. Possiamo quindi analizzare esclusivamente la disuguaglianza

e scrivere che l'insieme di esistenza dell'equazione è

Possiamo procedere alla risoluzione dell'equazione: raccogliamo un meno al denominatore del primo addendo a destra dell'uguale e trasportiamolo al numeratore

dopodiché trasportiamo tutti i termini al primo membro prestando la massima attenzione ai segni

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi al denominatore e svolgiamo i calcoli che consentono di esprimere il primo membro come un'unica frazione algebrica

Moltiplichiamo membro a membro per , in questo modo possiamo semplificare il denominatore e ricondurci all'equazione equivalente:

Da qui lo svolgimento è in discesa! Eseguiamo le moltiplicazioni e utilizziamo la regola dei segni così da sbarazzarci delle parentesi tonde

Sommiamo a questo punto i termini simili così da ricavare l'equazione di primo grado

Isoliamo il termine con l'incognita al primo membro trasportando -175 al secondo cambiandogli il segno

Dividiamo i due membro per 35

e riduciamo la frazione ai minimi termini, ricavando:

Attenzione! Il valore ottenuto viola le condizioni di esistenza pertanto non può essere accettato come soluzione dell'equazione. Concludiamo pertanto che l'equazione è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto .