Soluzioni
  • Ciao Nick, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • salve ragazzi vorrei gentilmente un chiarimento. ho uno sottospazio vettoriale come faccio a trovare una sua base diversa dalla base canonica?  Poi, altra domandina, se ho tre vettori di R3  che sono (1,2,3) , (4,-1,5), (-2,5,1) come faccio a calcolare il sottospazio generato da essi  e la sua dimensione? Grazie mille..forse sono domande troppo banali ma nn mi entra veramente sto concetto :) ciaoo

    Per rispondere alla prima parte della domanda, ti posso dire che molto dipende dalla formulazione dello spazio/sottospazio vettoriale di cui disponi!

    La domanda è molto generica: ad esempio, se il sottospazio è l'immagine di una applicazione lineare, puoi scrivere la generica immagine come combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti.

    Se già disponi di una base, puoi semplicemente cambiare le coordinate con la matrice del cambiamento di coordinate.

    Insomma: tutto dipende da cosa hai e dallo scopo per il quale vuoi considerare una nuova base!

    Invece, per trovare il sottospazio generato dai vettori

    (1,2,3)^T\mbox{, }(4,-1,5)^T\mbox{, }(-2,5,1)^T

    prendine una generica combinazione lineare:

    \alpha(1,2,3)^T+\beta(4,-1,5)^T+\gamma(-2,5,1)^T

    che è lo stesso che trovare l'immagine dell'applicazione lineare rappresentata dalla matrice che ha come colonne i vettori considerati. Al variare dei coefficienti della combinazione lineare, hai tutti gli elementi del sottospazio generato, ma...

    ...è un po' più comodo determinarne una base (scoprendo così anche la dimensione del sottospazio, ovvero: il numero di elementi di una sua base). Per trovare una base, prendi semplicemente i generatori e determina, tra loro, l'insieme massimale di elementi linearmente indipendenti. Se non sono tre, prova con coppie di due. Se non ce n'é nemmeno uno fatto da una coppia di vettori del sistema di partenza, allora i tre generatori sono tutti linearmente dipendenti e il sottospazio generato ha dimensione 1.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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