esercizio relazione binaria e diagramma di Hasse
Buongiorno, vi sottopongo un esercizio sulle relazioni binarie e sui diagrammi di Hasse:
Sia Σ la relazione binaria definita in N da: per ogni x,y in N
Σ è una relazione d'ordine? Nel caso lo sia determina in (N,Σ) se esistono minimo, massimo, elementi minimali, massimali.
Sia X={4,5,6,12,54}. Disegna il diagramma di Hasse e stabilisci se è un reticolo, dai anche un esempio di una parte Y di N che, ordinata da Σ, costituisca un reticolo trirettangolo.
Ciao Giulialg88, con F stiamo intendendo l'applicazione
Risposta di Omega
si
Risposta di Giulialg88
Ciao Giulia!
Ti rispondo io...
per prima cosa dobbiamo verificare che la relazione sia una relazione d'ordine, l'abbiamo già fatto spesso, quindi mi permetto di andare abbastanza veloce:
1. Riflessività: ovvia, dal momento che preso un elemento in N questo sarà uguale a se stesso.
2. Antisimmetria: sia x in relazione con y. Se y è in relazione con x può accadere che x=y, quindi la relazione è antisimmetrica, oppure dovremmo avere che
ma questo è impossibile, poiché come possono due insiemi essere contemporaneamente contenuti strettamente l'uno nell'altro? Dunque se xΣy e yΣx l'unico caso possibile è che x=y. L'antisimmetria di Σ è verificata.
3. Transitività: sia xΣy e yΣx. Procediamo per casi:
3a) x=y e y=z, allora ovviamente x=z, dunque xΣz.
3b) F(x)CF(y) e y=z, allora F(x)CF(z)=F(y) quindi xΣz.
3c) x=y e F(y)CF(z), allora F(x)=F(y)CF(z), quindi xΣz.
3d) F(x)CF(y) e F(y)CF(z), allora F(x)CF(z), ancora una volta xΣz.
Dunque Σ è transitiva.
Abbiamo mostrato che Σ è una relazione d'ordine, N non è limitato superiormente, dunque è inutile cercare elementi massimali, visto che la relazione si basa sui divisori. Gli elementi minimali sono i numeri primi, in relazione solo con loro stessi per uguaglianza e con tutti gli altri, poiché F(p)=Ø.
Ora per disegnare il diagramma di Hasse, scriviamo gli insiemi immagine tramite F di ciascun elemento di X={4,5,6,12,54}. Scriviamo F(n) per ogni n in X:
Non tutte le coppie sono confrontabili, ad esempio come puoi dire chi tra 12 e 54 è più grande?
La parte di X che ha diagramma di Hasse trirettangolare, o M3, sostanzialmente un rombo tagliato da una diagonale è Y={4,5,6,12}
Risposta di Alpha
Tutto chiaro fino a
Non tutte le coppie sono confrontabili, ad esempio come puoi dire chi tra 12 e 54 è più grande?
Perché non sono confrontabili?
Potresti darmi dei suggerimenti per disegnare il diagramma di Hasse, per favore?
Risposta di Giulialg88
I due elementi non sono confrontabili perché non puoi applicare né l'uguaglianza né l'inclusione: l'unico elemento che hanno nella loro intersezione è 6!
Per quanto riguarda il diagramma di Hasse, è incompleto ed è un rombo con vertice basso 5, vertici di mezzo 4 e 6 e vertice alto 12. 54 è escluso dal diagramma.
Namasté!
Risposta di Omega