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  • Ciao Giulialg88, con F stiamo intendendo l'applicazione

    F:\mathbb{N}\rightarrow P(\mathbb{Z})

    F(x)=\{y\in\mathbb{Z}\mbox{ t.c. }y|x\mbox{ e y non è primo}\}?

    Risposta di Omega
  • si

    Risposta di Giulialg88
  • Ciao Giulia!

    Ti rispondo io...

    per prima cosa dobbiamo verificare che la relazione sia una relazione d'ordine, l'abbiamo già fatto spesso, quindi mi permetto di andare abbastanza veloce:

     

    1. Riflessività: ovvia, dal momento che preso un elemento in N questo sarà uguale a se stesso.

     

    2. Antisimmetria: sia x in relazione con y. Se y è in relazione con x può accadere che x=y, quindi la relazione è antisimmetrica, oppure dovremmo avere che

     

    F(x)\subset F(y)  \wedge F(y)\subset F(x)

     

    ma questo è impossibile, poiché come possono due insiemi essere contemporaneamente contenuti strettamente l'uno nell'altro? Dunque se xΣy e yΣx l'unico caso possibile è che x=y. L'antisimmetria di Σ è verificata.

     

    3. Transitività: sia xΣy e yΣx. Procediamo per casi:

    3a) x=y e y=z, allora ovviamente x=z, dunque xΣz.

    3b) F(x)CF(y) e y=z, allora F(x)CF(z)=F(y) quindi xΣz.

    3c) x=y e F(y)CF(z), allora F(x)=F(y)CF(z), quindi xΣz.

    3d) F(x)CF(y) e F(y)CF(z), allora F(x)CF(z), ancora una volta xΣz.

    Dunque Σ è transitiva.

     

    Abbiamo mostrato che Σ è una relazione d'ordine, N non è limitato superiormente, dunque è inutile cercare elementi massimali, visto che la relazione si basa sui divisori. Gli elementi minimali sono i numeri primi, in relazione solo con loro stessi per uguaglianza e con tutti gli altri, poiché F(p)=Ø.

     

    Ora per disegnare il diagramma di Hasse, scriviamo gli insiemi immagine tramite F di ciascun elemento di X={4,5,6,12,54}. Scriviamo F(n) per ogni n in X:

     

    F(4)=\{4\}

     

    F(5)=\varnothing

     

    F(6)=\{6\}

     

    F(12)=\{4,6,12\}

     

    F(54)=\{6,9,18,27,54\}

     

    Non tutte le coppie sono confrontabili, ad esempio come puoi dire chi tra 12 e 54 è più grande?

    La parte di X che ha diagramma di Hasse trirettangolare, o M3, sostanzialmente un rombo tagliato da una diagonale è Y={4,5,6,12}

    Risposta di Alpha
  • Tutto chiaro fino a

    F(54)=\{6,9,18,27,54\}

    Non tutte le coppie sono confrontabili, ad esempio come puoi dire chi tra 12 e 54 è più grande?

    Perché non sono confrontabili?

    Potresti darmi dei suggerimenti per disegnare il diagramma di Hasse, per favore?

    Risposta di Giulialg88
  • I due elementi non sono confrontabili perché non puoi applicare né l'uguaglianza né l'inclusione: l'unico elemento che hanno nella loro intersezione è 6!

    Per quanto riguarda il diagramma di Hasse, è incompleto ed è un rombo con vertice basso 5, vertici di mezzo 4 e 6 e vertice alto 12. 54 è escluso dal diagramma.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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