esercizio relazione binaria e diagramma di Hasse

Ciao Giulia!

Ti rispondo io...

per prima cosa dobbiamo verificare che la relazione sia una relazione d'ordine, l'abbiamo già fatto spesso, quindi mi permetto di andare abbastanza veloce:

1. Riflessività: ovvia, dal momento che preso un elemento in N questo sarà uguale a se stesso.

2. Antisimmetria: sia x in relazione con y. Se y è in relazione con x può accadere che x=y, quindi la relazione è antisimmetrica, oppure dovremmo avere che

ma questo è impossibile, poiché come possono due insiemi essere contemporaneamente contenuti strettamente l'uno nell'altro? Dunque se xΣy e yΣx l'unico caso possibile è che x=y. L'antisimmetria di Σ è verificata.

3. Transitività: sia xΣy e yΣx. Procediamo per casi:

3a) x=y e y=z, allora ovviamente x=z, dunque xΣz.

3b) F(x)CF(y) e y=z, allora F(x)CF(z)=F(y) quindi xΣz.

3c) x=y e F(y)CF(z), allora F(x)=F(y)CF(z), quindi xΣz.

3d) F(x)CF(y) e F(y)CF(z), allora F(x)CF(z), ancora una volta xΣz.

Dunque Σ è transitiva.

Abbiamo mostrato che Σ è una relazione d'ordine, N non è limitato superiormente, dunque è inutile cercare elementi massimali, visto che la relazione si basa sui divisori. Gli elementi minimali sono i numeri primi, in relazione solo con loro stessi per uguaglianza e con tutti gli altri, poiché F(p)=Ø.

Ora per disegnare il diagramma di Hasse, scriviamo gli insiemi immagine tramite F di ciascun elemento di X={4,5,6,12,54}. Scriviamo F(n) per ogni n in X:

Non tutte le coppie sono confrontabili, ad esempio come puoi dire chi tra 12 e 54 è più grande?

La parte di X che ha diagramma di Hasse trirettangolare, o M3, sostanzialmente un rombo tagliato da una diagonale è Y={4,5,6,12}