Formula di Grassmann

Qual è la formula di Grassmann? A lezione di Algebra Lineare, dopo aver introdotto i concetti di somma e intersezione di sottospazi vettoriali, è stato enunciato e dimostrato il teorema di Grassmann, che attraverso una formula lega le dimensioni dei sottospazi somma e intersezione. Tuttavia non ho ben capito a cosa serva e, soprattutto, mi servirebbe una dimostrazione quanto più chiara possibile.

Domanda di xavier310

Soluzioni

La formula di Grassmann è una relazione tra le dimensioni di due sottospazi di uno stesso spazio vettoriale di dimensione finita.
Più precisamente, se $U \mbox{ e } W$ sono due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita, il teorema di Grassmann afferma che: la dimensione del sottospazio somma è uguale alla somma delle dimensioni dei sottospazi $U \mbox{ e } W$ a cui va sottratta la dimensione del sottospazio intersezione $U \cap W$ :
$\mbox{dim}(U+W)=\mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(W)-\mbox{dim}(U \cap W)$
Dimostrazione della teorema di Grassmann
Siano la dimensione di , la dimensione di e la dimensione di $U \cap W$ .
Per com'è definito il sottospazio intersezione, $p \le r \mbox{ e } p\le s$ . Indichiamo poi con
$\mathcal{B}_{U\cap W}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p\}$
una base di $U \cap W$ .
Essendo $p \le r$ , possiamo usare il teorema di completamento a base e completare $\mathcal{B}_{U\cap W}$ a una base di
$\mathcal{B}_U=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, \mathbf{u}_{p+1}, ..., \mathbf{u}_r\}$
Analogamente, essendo $p \le s$ possiamo completare $\mathcal{B}_{U\cap W}$ a base di
$\mathcal{B}_W=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, \mathbf{w}_{p+1}, ..., \mathbf{w}_s\}$
Riflettendoci un istante si capisce che per avere la tesi ci basta dimostrare che
$\mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p,\mathbf{u}_{p+1}, ..., \mathbf{u}_r,\mathbf{w}_{p+1}, ..., \mathbf{w}_s\}$
è una base del sottospazio somma . La dimensione di un sottospazio è, infatti, la cardinalità di una sua base. Dunque, se dimostriamo che $\mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W}$ è una base di avremo che
$\mbox{dim}(U+V)=p+(r-p)+(s-p)=r+s-p=\mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(W)-\mbox{dim}(U\cap W)$
così come affermato dalla formula di Grassmann.
Attenendoci alla definizione di base dobbiamo dimostrare che:
- $\mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W}$ è un sistema di generatori di , e che
- $\mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W}$ è un formato da vettori linearmente indipendenti.
Che $\mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W}$ sia un sistema di generatori di è più che evidente; ogni elemento di si scrive infatti come combinazione lineare degli elementi di $\mathcal{B}_U$ , e ogni elemento di si scrive come combinazione lineare degli elementi di $\mathcal{B}_W$ .
Di conseguenza ogni elemento di è combinazione lineare dei vettori di $\mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W}$ , dunque tale insieme è un sistema di generatori di .
Ci rimane da verificare l'indipendenza lineare dei vettori $\mathbf{v}_1, \ \mathbf{v}_2, \ ..., \ \mathbf{v}_p, \ \mathbf{u}_{p+1}, \ ..., \ \mathbf{u}_r, \ \mathbf{w}_{p+1}, \ ..., \ \mathbf{w}_s$ .
Supponiamo allora che
$\alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2 \mathbf{v}_2 + ...+\alpha_p \mathbf{v}_p+ \beta_{p+1} \mathbf{u}_{p+1} + ... + \beta_r \mathbf{u}_r + \gamma_{p+1}\mathbf{w}_{p+1}+...+\gamma_s\mathbf{w}_s=\mathbf{0} \ (*)$
Dobbiamo dimostrare che tutti i coefficienti della precedente combinazione lineare sono nulli.
Poniamo
$\\ \mathbf{v}:=\alpha_1 \mathbf{v}_1+ ...+\alpha_p \mathbf{v}_p \in U \cap W \\ \\ \mathbf{u}:=\beta_{p+1} \mathbf{u}_{p+1} + ... + \beta_r \mathbf{u}_r \in U \\ \\ \mathbf{w}:= \gamma_{p+1}\mathbf{w}_{p+1}+...+\gamma_s\mathbf{w}_s \in W$
Da segue che $\mathbf{v}+\mathbf{u}+\mathbf{w}=\mathbf{0}$ , e ciò implica che
$\mathbf{w}=-\mathbf{u}-\mathbf{v} \in U$
Infatti, $\mathbf{u} \in U \mbox{ e } \mathbf{v}\in U \cap W \subseteq U$
Ma $\mathbf{w}$ appartiene anche a , ragion per cui $\mathbf{w} \in U \cap W$ .
In quanto elemento del sottospazio intersezione, $\mathbf{w}$ si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di
$\mathcal{B}_{U\cap W}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p\}$
cioè esistono gli scalari $\delta_1, \ \delta_2, \ ..., \ \delta_p$ tali che
$\mathbf{w}=\delta_1 \mathbf{v}_1+\delta_2 \mathbf{v}_2+...+\delta_p\mathbf{v}_p$
Poc'anzi abbiamo definito $\mathbf{w}$ come
$\mathbf{w}:= \gamma_{p+1}\mathbf{w}_{p+1}+...+\gamma_s\mathbf{w}_s$
ragion per cui dev'essere necessariamente
$\gamma_{p+1}\mathbf{w}_{p+1}+...+\gamma_s\mathbf{w}_s=\delta_1 \mathbf{v}_1+\delta_2 \mathbf{v}_2+...+\delta_p\mathbf{v}_p$
ossia
$\gamma_{p+1}\mathbf{w}_{p+1}+...+\gamma_s\mathbf{w}_s-\delta_1 \mathbf{v}_1-\delta_2 \mathbf{v}_2-...-\delta_p\mathbf{v}_p=\mathbf{0}$
I vettori $\mathbf{v}_1, \ \mathbf{v}_2, \ ..., \ \mathbf{v}_p, \ \mathbf{w}_{p+1}, \ ..., \ \mathbf{w}_{s}$ della precedente combinazione lineare sono linearmente indipendenti tra loro in quanto sono i vettori della base $\mathcal{B}_W$ . Di conseguenza
$\gamma_{p+1}=...=\gamma_s=\delta_1=\delta_2=...=\delta_p=0$
Essendo ogni $\gamma_i=0, \mbox{ con } i \in \{p+1, ..., s\}$ , da segue che
$\alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2 \mathbf{v}_2 + ...+\alpha_p \mathbf{v}_p+ \beta_{p+1} \mathbf{u}_{p+1} + ... + \beta_r \mathbf{u}_r=\mathbf{0}$
Osserviamo ora che $\mathbf{v}_1, \ \mathbf{v}_2, \ ..., \ \mathbf{v}_p, \ \mathbf{u}_{p+1}, \ ..., \ \mathbf{u}_{r}$ sono i vettori della base $\mathcal{B}_U$ , e quindi sono linearmente indipendenti. Ciò permette di concludere che
$\alpha_{1}=...=\alpha_p=\beta_{p+1}=...=\beta_r=0$
e da ciò segue la tesi.
Formula di Grassmann e somma diretta
Se $U \mbox{ e } W$ sono sottospazi di in somma diretta, allora $V=U+W \mbox{ e } U \cap W = \{\mathbf{0}\}$ . Di conseguenza il sottospazio intersezione ha dimensione pari a zero.
Dalla formula di Grassmann segue che la dimensione del sottospazio somma è uguale alla somma delle dimensioni dei sottospazi, ossia
$V=U\oplus W \iff \mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(U+W)=\mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(W)$
Applicazione della formula di Grassmann
Siano $U \mbox{ e } W$ due sottospazi vettoriali dello spazio finitamente generato . La formula di Grassmann
$\mbox{dim}(U+W)=\mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(W)-\mbox{dim}(U \cap W)$
coinvolge le dimensioni dei quattro sottospazi $U, \ W, \ U+W, \ U\cap W$ , dunque se se ne conoscono almeno tre è possibile ricavare la quarta in men che non si dica.
Tale aspetto non è affatto da sottovalutare, infatti ricavare una base e la dimensione dei sottospazi somma e intersezione non è sempre semplice e immediato, e grazie alla formula di Grassmann possiamo risparmiare un bel po' di tempo.
Esempio
Sia $V=\mathbb{R}^3$ e siano
$\\ U=\mbox{Span}(\mathbf{u}_1=(1,2,0), \ \mathbf{u}_2=(1,1,1)) \\ \\ W=\mbox{Span}(\mathbf{w}_1=(0,0,3))$
due sottospazi vettoriali di .
è un sottospazio generato da due vettori di $\mathbb{R}^3$ linearmente indipendenti tra loro, dunque tali vettori formano una base di
$\mathcal{B}_{U}=\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\}$
ragion per cui
$\mbox{dim}(U)=2$
Analogamente, essendo un sottospazio generato da un solo vettore (non nullo)
$\mathcal{B}_{W}=\{\mathbf{w}_1\}$
e quindi
$\mbox{dim}(W)=1$
Calcoliamo la dimensione del sottospazio somma . A tal proposito consideriamo l'unione delle basi
$\mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W}=\{\mathbf{u}_1=(1,2,0), \ \mathbf{u}_2=(1,1,1), \ \mathbf{w}_1=(0,0,3)\}$
Tale insieme è una base di , infatti è un sistema di generatori formato da vettori linearmente indipendenti. Per convincersene è sufficiente osservare che il la matrice avente come righe (o come colonne) i tre vettori ha rango massimo. Di conseguenza
$\mbox{dim}(U+W)=3$
Volendo determinare la dimensione del sottospazio intersezione $U \cap W$ possiamo ricorrere alla formula di Grassmann, secondo cui
$\mbox{dim}(U \cap W)=\mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(W)-\mbox{dim}(U+W)=2+1-3=0$
Ciò ci permette di concludere che il sottospazio intersezione è formato dal solo vettore nullo senza fare alcun ulteriore calcolo.
Formula di Grassmann per sottospazi affini
Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann così come è stata enunciata per i sottospazi vettoriali, ma vale la relazione:
$\mbox{dim}(S_1+S_2) \le \mbox{dim}(S_1)+\mbox{dim}(S_2)-\mbox{dim}(S_1 \cap S_2)$
dove $S_1 \mbox{ e } S_2$ sono sottospazi affini di uno stesso spazio vettoriale finitamente generato.
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È tutto! Se vi occorrono altri esempi di applicazione della formula di Grassmann potete usare la barra di ricerca interna. ;)
Risposta di Galois