La formula di Grassmann è una relazione tra le dimensioni di due sottospazi di uno stesso spazio vettoriale di dimensione finita.
Più precisamente, se
sono due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale
di dimensione finita, il teorema di Grassmann afferma che: la dimensione del sottospazio somma
è uguale alla somma delle dimensioni dei sottospazi
a cui va sottratta la dimensione del sottospazio intersezione
:
Dimostrazione della teorema di Grassmann
Siano
la dimensione di
,
la dimensione di
e
la dimensione di
.
Per com'è definito il sottospazio intersezione,
. Indichiamo poi con
una base di
.
Essendo
, possiamo usare il teorema di completamento a base e completare
a una base di
Analogamente, essendo
possiamo completare
a base di
Riflettendoci un istante si capisce che per avere la tesi ci basta dimostrare che
è una base del sottospazio somma
. La dimensione di un sottospazio è, infatti, la cardinalità di una sua base. Dunque, se dimostriamo che
è una base di
avremo che
così come affermato dalla formula di Grassmann.
Attenendoci alla definizione di base dobbiamo dimostrare che:
-
è un sistema di generatori di
, e che
-
è un formato da vettori linearmente indipendenti.
Che
sia un sistema di generatori di
è più che evidente; ogni elemento di
si scrive infatti come combinazione lineare degli elementi di
, e ogni elemento di
si scrive come combinazione lineare degli elementi di
.
Di conseguenza ogni elemento di
è combinazione lineare dei vettori di
, dunque tale insieme è un sistema di generatori di
.
Ci rimane da verificare l'indipendenza lineare dei vettori
.
Supponiamo allora che
Dobbiamo dimostrare che tutti i coefficienti della precedente combinazione lineare sono nulli.
Poniamo
Da
segue che
, e ciò implica che
Infatti,
Ma
appartiene anche a
, ragion per cui
.
In quanto elemento del sottospazio intersezione,
si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di
cioè esistono gli scalari
tali che
Poc'anzi abbiamo definito
come
ragion per cui dev'essere necessariamente
ossia
I vettori
della precedente combinazione lineare sono linearmente indipendenti tra loro in quanto sono i vettori della base
. Di conseguenza
Essendo ogni
, da
segue che
Osserviamo ora che
sono i vettori della base
, e quindi sono linearmente indipendenti. Ciò permette di concludere che
e da ciò segue la tesi.
Formula di Grassmann e somma diretta
Se
sono sottospazi di
in somma diretta, allora
. Di conseguenza il sottospazio intersezione ha dimensione pari a zero.
Dalla formula di Grassmann segue che la dimensione del sottospazio somma è uguale alla somma delle dimensioni dei sottospazi, ossia
Applicazione della formula di Grassmann
Siano
due sottospazi vettoriali dello spazio finitamente generato
. La formula di Grassmann
coinvolge le dimensioni dei quattro sottospazi
, dunque se se ne conoscono almeno tre è possibile ricavare la quarta in men che non si dica.
Tale aspetto non è affatto da sottovalutare, infatti ricavare una base e la dimensione dei sottospazi somma e intersezione non è sempre semplice e immediato, e grazie alla formula di Grassmann possiamo risparmiare un bel po' di tempo.
Esempio
Sia
e siano
due sottospazi vettoriali di
.
è un sottospazio generato da due vettori di
linearmente indipendenti tra loro, dunque tali vettori formano una base di
ragion per cui
Analogamente, essendo
un sottospazio generato da un solo vettore (non nullo)
e quindi
Calcoliamo la dimensione del sottospazio somma
. A tal proposito consideriamo l'unione delle basi
Tale insieme è una base di
, infatti è un sistema di generatori formato da vettori linearmente indipendenti. Per convincersene è sufficiente osservare che il la matrice avente come righe (o come colonne) i tre vettori ha rango massimo. Di conseguenza
Volendo determinare la dimensione del sottospazio intersezione
possiamo ricorrere alla formula di Grassmann, secondo cui
Ciò ci permette di concludere che il sottospazio intersezione è formato dal solo vettore nullo senza fare alcun ulteriore calcolo.
Formula di Grassmann per sottospazi affini
Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann così come è stata enunciata per i sottospazi vettoriali, ma vale la relazione:
dove
sono sottospazi affini di uno stesso spazio vettoriale
finitamente generato.
***
È tutto! Se vi occorrono altri esempi di applicazione della formula di Grassmann potete usare la barra di ricerca interna. ;)
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