Soluzioni
  • La formula di Grassmann è una relazione tra le dimensioni di due sottospazi di uno stesso spazio vettoriale di dimensione finita.

    Più precisamente, se U \mbox{ e } W sono due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V di dimensione finita, il teorema di Grassmann afferma che: la dimensione del sottospazio somma U+W è uguale alla somma delle dimensioni dei sottospazi U \mbox{ e } W a cui va sottratta la dimensione del sottospazio intersezione U \cap W:

    \mbox{dim}(U+W)=\mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(W)-\mbox{dim}(U \cap W)

    Dimostrazione della teorema di Grassmann

    Siano r la dimensione di U, s la dimensione di W e p la dimensione di U \cap W.

    Per com'è definito il sottospazio intersezione, p \le r \mbox{ e } p\le s. Indichiamo poi con

    \mathcal{B}_{U\cap W}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p\}

    una base di U \cap W.

    Essendo p \le r, possiamo usare il teorema di completamento a base e completare \mathcal{B}_{U\cap W} a una base di U

    \mathcal{B}_U=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, \mathbf{u}_{p+1}, ..., \mathbf{u}_r\}

    Analogamente, essendo p \le s possiamo completare \mathcal{B}_{U\cap W} a base di W

    \mathcal{B}_W=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p, \mathbf{w}_{p+1}, ..., \mathbf{w}_s\}

    Riflettendoci un istante si capisce che per avere la tesi ci basta dimostrare che

    \mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p,\mathbf{u}_{p+1}, ..., \mathbf{u}_r,\mathbf{w}_{p+1}, ..., \mathbf{w}_s\}

    è una base del sottospazio somma U+W. La dimensione di un sottospazio è, infatti, la cardinalità di una sua base. Dunque, se dimostriamo che \mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W} è una base di U+W avremo che

    \mbox{dim}(U+V)=p+(r-p)+(s-p)=r+s-p=\mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(W)-\mbox{dim}(U\cap W)

    così come affermato dalla formula di Grassmann.

    Attenendoci alla definizione di base dobbiamo dimostrare che:

    - \mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W} è un sistema di generatori di U+W, e che

    - \mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W} è un formato da vettori linearmente indipendenti.

    Che \mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W} sia un sistema di generatori di U+W è più che evidente; ogni elemento di U si scrive infatti come combinazione lineare degli elementi di \mathcal{B}_U, e ogni elemento di W si scrive come combinazione lineare degli elementi di \mathcal{B}_W.

    Di conseguenza ogni elemento di U+W è combinazione lineare dei vettori di \mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W}, dunque tale insieme è un sistema di generatori di U+W.

    Ci rimane da verificare l'indipendenza lineare dei vettori \mathbf{v}_1, \ \mathbf{v}_2, \ ..., \ \mathbf{v}_p, \ \mathbf{u}_{p+1}, \ ..., \ \mathbf{u}_r, \ \mathbf{w}_{p+1}, \ ..., \ \mathbf{w}_s.

    Supponiamo allora che

    \alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2 \mathbf{v}_2 + ...+\alpha_p \mathbf{v}_p+ \beta_{p+1} \mathbf{u}_{p+1} + ... + \beta_r \mathbf{u}_r + \gamma_{p+1}\mathbf{w}_{p+1}+...+\gamma_s\mathbf{w}_s=\mathbf{0} \ (*)

    Dobbiamo dimostrare che tutti i coefficienti della precedente combinazione lineare sono nulli.

    Poniamo

    \\ \mathbf{v}:=\alpha_1 \mathbf{v}_1+ ...+\alpha_p \mathbf{v}_p \in U \cap W \\ \\ \mathbf{u}:=\beta_{p+1} \mathbf{u}_{p+1} + ... + \beta_r \mathbf{u}_r \in U \\ \\ \mathbf{w}:= \gamma_{p+1}\mathbf{w}_{p+1}+...+\gamma_s\mathbf{w}_s \in W

    Da (*) segue che \mathbf{v}+\mathbf{u}+\mathbf{w}=\mathbf{0}, e ciò implica che

    \mathbf{w}=-\mathbf{u}-\mathbf{v} \in U

    Infatti, \mathbf{u} \in U \mbox{ e } \mathbf{v}\in U \cap W \subseteq U

    Ma \mathbf{w} appartiene anche a W, ragion per cui \mathbf{w} \in U \cap W.

    In quanto elemento del sottospazio intersezione, \mathbf{w} si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di

    \mathcal{B}_{U\cap W}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_p\}

    cioè esistono gli scalari \delta_1, \ \delta_2, \ ..., \ \delta_p tali che

    \mathbf{w}=\delta_1 \mathbf{v}_1+\delta_2 \mathbf{v}_2+...+\delta_p\mathbf{v}_p

    Poc'anzi abbiamo definito \mathbf{w} come

    \mathbf{w}:= \gamma_{p+1}\mathbf{w}_{p+1}+...+\gamma_s\mathbf{w}_s

    ragion per cui dev'essere necessariamente

    \gamma_{p+1}\mathbf{w}_{p+1}+...+\gamma_s\mathbf{w}_s=\delta_1 \mathbf{v}_1+\delta_2 \mathbf{v}_2+...+\delta_p\mathbf{v}_p

    ossia

    \gamma_{p+1}\mathbf{w}_{p+1}+...+\gamma_s\mathbf{w}_s-\delta_1 \mathbf{v}_1-\delta_2 \mathbf{v}_2-...-\delta_p\mathbf{v}_p=\mathbf{0}

    I vettori \mathbf{v}_1, \ \mathbf{v}_2, \ ..., \ \mathbf{v}_p, \ \mathbf{w}_{p+1}, \ ..., \ \mathbf{w}_{s} della precedente combinazione lineare sono linearmente indipendenti tra loro in quanto sono i vettori della base \mathcal{B}_W. Di conseguenza

    \gamma_{p+1}=...=\gamma_s=\delta_1=\delta_2=...=\delta_p=0

    Essendo ogni \gamma_i=0, \mbox{ con } i \in \{p+1, ..., s\}, da (*) segue che

    \alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2 \mathbf{v}_2 + ...+\alpha_p \mathbf{v}_p+ \beta_{p+1} \mathbf{u}_{p+1} + ... + \beta_r \mathbf{u}_r=\mathbf{0}

    Osserviamo ora che \mathbf{v}_1, \ \mathbf{v}_2, \ ..., \ \mathbf{v}_p, \ \mathbf{u}_{p+1}, \ ..., \ \mathbf{u}_{r} sono i vettori della base \mathcal{B}_U, e quindi sono linearmente indipendenti. Ciò permette di concludere che

    \alpha_{1}=...=\alpha_p=\beta_{p+1}=...=\beta_r=0

    e da ciò segue la tesi.

    Formula di Grassmann e somma diretta

    Se U \mbox{ e } W sono sottospazi di V in somma diretta, allora V=U+W \mbox{ e } U \cap W = \{\mathbf{0}\}. Di conseguenza il sottospazio intersezione ha dimensione pari a zero.

    Dalla formula di Grassmann segue che la dimensione del sottospazio somma è uguale alla somma delle dimensioni dei sottospazi, ossia

    V=U\oplus W \iff \mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(U+W)=\mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(W)

    Applicazione della formula di Grassmann

    Siano U \mbox{ e } W due sottospazi vettoriali dello spazio finitamente generato V. La formula di Grassmann

    \mbox{dim}(U+W)=\mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(W)-\mbox{dim}(U \cap W)

    coinvolge le dimensioni dei quattro sottospazi U, \ W, \ U+W, \ U\cap W, dunque se se ne conoscono almeno tre è possibile ricavare la quarta in men che non si dica.

    Tale aspetto non è affatto da sottovalutare, infatti ricavare una base e la dimensione dei sottospazi somma e intersezione non è sempre semplice e immediato, e grazie alla formula di Grassmann possiamo risparmiare un bel po' di tempo.

    Esempio

    Sia V=\mathbb{R}^3 e siano

    \\ U=\mbox{Span}(\mathbf{u}_1=(1,2,0), \ \mathbf{u}_2=(1,1,1)) \\ \\ W=\mbox{Span}(\mathbf{w}_1=(0,0,3))

    due sottospazi vettoriali di V.

    U è un sottospazio generato da due vettori di \mathbb{R}^3 linearmente indipendenti tra loro, dunque tali vettori formano una base di U

    \mathcal{B}_{U}=\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2\}

    ragion per cui

    \mbox{dim}(U)=2

    Analogamente, essendo W un sottospazio generato da un solo vettore (non nullo)

    \mathcal{B}_{W}=\{\mathbf{w}_1\}

    e quindi

    \mbox{dim}(W)=1

    Calcoliamo la dimensione del sottospazio somma U+W. A tal proposito consideriamo l'unione delle basi

    \mathcal{B}_{U} \cup \mathcal{B}_{W}=\{\mathbf{u}_1=(1,2,0), \ \mathbf{u}_2=(1,1,1), \ \mathbf{w}_1=(0,0,3)\}

    Tale insieme è una base di U+W, infatti è un sistema di generatori formato da vettori linearmente indipendenti. Per convincersene è sufficiente osservare che il la matrice avente come righe (o come colonne) i tre vettori ha rango massimo. Di conseguenza

    \mbox{dim}(U+W)=3

    Volendo determinare la dimensione del sottospazio intersezione U \cap W possiamo ricorrere alla formula di Grassmann, secondo cui

    \mbox{dim}(U \cap W)=\mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(W)-\mbox{dim}(U+W)=2+1-3=0

    Ciò ci permette di concludere che il sottospazio intersezione è formato dal solo vettore nullo senza fare alcun ulteriore calcolo.

    Formula di Grassmann per sottospazi affini

    Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann così come è stata enunciata per i sottospazi vettoriali, ma vale la relazione:

    \mbox{dim}(S_1+S_2) \le \mbox{dim}(S_1)+\mbox{dim}(S_2)-\mbox{dim}(S_1 \cap S_2)

    dove S_1 \mbox{ e } S_2 sono sottospazi affini di uno stesso spazio vettoriale V finitamente generato.

    ***

    È tutto! Se vi occorrono altri esempi di applicazione della formula di Grassmann potete usare la barra di ricerca interna. ;)

    Risposta di Galois
 
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