Soluzioni
  • Ciao Xavier, un attimo di pazienza e ti rispondo!

    Risposta di Alpha
  • In questo esercizio non è necessario ricorrere a passaggi algebrici, basta guardarlo con calma e ragionare un pochino:

    la dimensione di un sottospazio è determinata dai suoi gradi di libertà, cioè dai suoi parametri liberi, in questo caso sono i tre coefficienti liberi della matrice 2x2. Scriciamo una matrice generica appartenente a M2(R), questa notazione è equivalente a M2,2(R):

     

    \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right]

     

    Il sottospazio V è quello delle matrici aventi a11=-a22, quindi, i parametri liberi nella scelta della matrice sono a11 (che determina anche a22), a12 e a21. Quindi i parametri liberi sono 3, di conseguenza ha senso supporre che la dimensione del sottospazio sia 3.

     

    Ora, se dimV=3, una sua base sarà composta da tre elementi di M2(R) linearmente indiependenti. Come scegliere le tre matrici? Semplice, due parametri sono totalmente liberi, e non hanno influenza sulla scelta degli altri, quindi possiamo scegliere due matrici del tipo

     

    \left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right]

     

    \left[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1  & 0 \end{matrix}\right]

     

    La terza matrice dovrà esprimere la dipendenza tra a11 e a22, ma sappiamo che a11=-a22, cioè la differenza tra i due elementi della matrice è data soltanto dal segno, quindi scegliamo la matrice

     

    \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0  & -1 \end{matrix}\right]

     

    Se questa è una base dobbiamo essere in grado di scrivere un qualunque elemento di V come combinazione lineare di queste tre matrici.

    Sia

     

    \left[\begin{matrix} a & b \\ c  & -a \end{matrix}\right]

     

    tale elemento:

     

    \left[\begin{matrix} a & b \\ c  & -a \end{matrix}\right]=b\cdot\left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right]+c\cdot \left[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1  & 0 \end{matrix}\right]+a\cdot \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0  & -1 \end{matrix}\right]

     

    infatti, per definizione di prodotto tra matrice e scalare l'uguaglianza si può sviluppare come

     

    \left[\begin{matrix} a & b \\ c  & -a \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 & b \\ 0 & 0 \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} 0 & 0 \\ c  & 0 \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} a & 0 \\ 0  & -a \end{matrix}\right]

     

    Quindi ogni elemento di V si può scrivere come combinazione lineare delle tre matrici che abbiamo scelto, quindi, sono, per definizione, una base di V.

     

     

    Risposta di Alpha
  • Fino a qua tutto chiaro:) però mi chiedevo se, essendo di dimensione 3, si poteva riportare tutta la spiegazione in un spazio R3 ? Cioè in che modo posso considerare le matrici che rappresentano la base come vettori?

    Risposta di xavier310
  • Bè...lo spazio delle matrici M2(R) è isomorfo a R4, quindi puoi condsiderare i vettori del tipo (a,b,c,d) con a=-d. Questo è un sottospazio di R4 di dimensione 3.

    Risposta di Alpha
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra Lineare