Soluzioni
  • Tra poco rispondo ale91

    Risposta di Alpha
  • Grazie
    Risposta di ale91
  • Scusa se ti metto fretta ma e' urgentissimo
    Risposta di ale91
  • Prima di tutto applichiamo la legge di annullamento del prodotto, quindi non svogliamo i calcoli, bensì risolviamo separatamente

     

    z-\left[1+\frac{(i-1)^8}{4-i}\right]=0

     

    e

     

    z^3+2=0

     

    Le soluzioni dell'equazione data dal prodotto dei due fattori sono esattamente date dall'unione delle soluzioni dei signoli fattori. Procediamo risolvendo la prima equazione:

     

    z-\left[1+\frac{(i-1)^8}{4-i}\right]=0

     

    z=\left[1+\frac{(i-1)^8}{4-i}\right]

     

    La variabile z compare solo a sinistra dell'uguale, quindi quella che abbiamo trovato è già un soluzione, dobbiamo solo darle una forma comprensibile! Per prima cosa vediamo come scrivere

     

    (i-1)^8=\left[\left(1-i\right)^2\right]^4=(-2i)^4=16

     

    Quindi

     

    z=1+\frac{16}{4-i}

     

    Sia z=x+iy, allora

     

    x+iy=1+\frac{16}{4-i}

     

    4x-ix-4iy+y=4-i+16

     

    Separiamo parte reale e parte immaginaria, scrivendo il sistema

     

    \left\{\begin{matrix}4x+y-4-16=0\\x-4y-1=0\end{matrix}

     

    Il sistema si risolve usando il metodo della sostituzione:

     

    \left\{\begin{matrix}4x+y-20=0\\x=4y+1\end{matrix}

     

     

    \left\{\begin{matrix}4(4y+1)+y-20=0\\x=4y+1\end{matrix}

     

    \left\{\begin{matrix}16y+4+y-20=0\\x=4y+1\end{matrix}

     

    \left\{\begin{matrix}y=\frac{16}{17}\\x=\frac{81}{17}\end{matrix}

     

    Dunque la prima soluzione è

     

    z=\frac{81}{17}+\frac{16}{17}i

     

    Ora, la nostra equazione è di quarto grado, il campo complesso è algebricamente chiuso, quindi ci aspettiamo di trovare quattro soluzioni. Dunque l'equazione

     

    z^3+2=0

     

    deve avere tre soluzioni, si possono calcolare molto velocemente con un po' di algebra, oppure a mano con il metodo che abbiamo utilizzato prima, io di solito propendo per l'algebra, ma forse il metodo standard è più chiaro:

     

    (x+iy)^3=-2

     

    quindi

     

    x^3+3ix^2y-3xy^2-iy^3+2=0

     

    sistema:

     

    \left\{\begin{matrix}x^3-3xy^2+2=0\\3x^2y-y^3=0\end{matrix}

     

    \left\{\begin{matrix}x^3-3xy^2+2=0\\y(3x^2-y^2)=0\end{matrix}

     

    per y=0 trovi la soluzione reale, le altre sono complesse immaginarie e le ricavi subito ponendo la seconda equazione =0 dato il valore di x ricavato:

     

    \left\{\begin{matrix}x=\sqrt[3]{2}\\3x^2=y^2\end{matrix}

     

    Dunque le soluzioni rimanenti sono

     

    z_2=\sqrt[3]{-2}

     

    z_3=-\sqrt[3]{-2}\sqrt[3]{-1}

     

    z_4=\sqrt[3]{-2}(-1)^{2/3}

     

     

     

    Risposta di Alpha
  • C'era un errore di calcolo, un segno, ma l'ho corretto, dai un refresh alla pagina!

    Risposta di Alpha
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