Soluzioni
  • Date due applicazioni lineari S,T: V \to W dobbiamo dimostrare che

    \mbox{Im}(S+T) \subseteq \left(\mbox{Im}(S)+\mbox{Im}(T)\right)

    Consideriamo un vettore \mathbf{w} \in \mbox{Im}(S+T) e proviamo che \mathbf{w} \in \left(\mbox{Im}(S)+\mbox{Im}(T)\right). La tesi seguirà dall'arbitrarietà dell'elemento considerato.

    S+T è un'applicazione lineare da V in W, dunque dall'appartenenza di \mathbf{w} a \mbox{Im}(S+T) segue che esiste \mathbf{v} \in V tale che

    \mathbf{w}=(S+T)(\mathbf{v})=

    per la linearità dell'applicazione S+T

    =S(\mathbf{v})+T(\mathbf{v})

    Ora:

    S(\mathbf{v}) \in \mbox{Im}(S) \ \ \ ; \ \ \ T(\mathbf{v})\in \mbox{Im}(T)

    dunque

    \mathbf{w}=S(\mathbf{v})+T(\mathbf{v}) \in \left(\mbox{Im}(S)+\mbox{Im}(T)\right)

    e ciò conclude la dimostrazione.

    Risposta di Galois
 
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