Soluzioni
  • Ciao Giulialg88, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Non capisco come è posta la domanda...sarebbero due diversi esercizi?

    Risposta di Omega
  • fanno parte dello stesso esercizio...anche a me comunque sembra strano

    Risposta di Giulialg88
  • Spezziamolo in due. La prima parte la risolvo qui, poi per la seconda passeremo ad una nuova domanda.

    Risposta di Omega
  • ok

    posto una nuova domanda

    Risposta di Giulialg88
  • Perchè l'applicazione sia effettivamente unìapplicazione, P(N) deve indicare l'insieme delle parti di N, cioè l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di N.

    P(\mathbb{N})=\{A\mbox{ t.c. }A\subseteq \mathbb{N}\}

    Per il punto 1)

    L'applicazione non è certamente iniettiva: infatti se consideriamo l'insieme vuoto allora abbiamo diverse preimmagini rispetto ad F: tutti i numeri primi hanno infatti come immagine mediante F l'insieme vuoto!

    Ad esempio: "quali numeri (immagine=insieme A) naturali dividono 1 e non sono primi?"

    Nessuno (immagine=insieme vuoto)

    Ad esempio: "quali numeri (immagine=insieme A) naturali dividono 2 e non sono primi?"

    Nessuno (immagine=insieme vuoto)

    Non è nemmeno suriettiva, infatti un insieme del tipo

    \{2,3\} 

    non ha preimmagine: divide infatti tanti numeri naturali, ma è primo!

    Per il punto 2)

    Per caratterizzare le preimmagini che hanno immagine con cardinalità 1, ad occhio e croce: tutti i numeri naturali che sono prodotto di due numeri primi. Infatti ad esempio

    10\rightarrow {10}

    perché 10 è divisibile per 1,2,5,10 ed è il prodotto di 2 per 5, ma dobbiamo escludere i numeri primi che troviamo tra i suoi divisori. Ci resta solamente il numer stesso: 10.

    Se invece prendi un numero che è prodotto di 3 o più numeri primi, ad esempio

    12\rightarrow \{6,12\}

    perché 12 è divisibile per 1,2,3,4,6,12 e puoi prendere il numero stesso come divisore e il prodotto di due numeri primi che lo dividono (ad esempio 6).

    Per il punto 3)

    Ragionando come nel punto 2), direi proprio di sì!

    Per il punto 4)

    In base al risultato del punto 3), la classe di equivalenza considerata è costituita solamente da 222.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • potresti spiegarmi meglio i punti 3 e 4 per favore?

    Risposta di Giulialg88
  • Naturalmente! Un attimo di pazienza...

    Risposta di Omega
  • Se due elementi x,y hanno la stessa immagine mediante F, vale a dire

    F(x)=F(y)

    e le due immagini hanno cardinalità diversa da 1, allora ragiona così: prendi ad esempio x. Nell'immagine F(x) è contenuto x stesso, se x non è un numero primo (ricordiamoci sempre la definizione dell'applicazione F). Infatti x è sempre un divisore di sé stesso!

    In particolare, il numero stesso è il più grande tra i divisori (e nel caso specifico, tra i divisori non primi). La condizione "cardinalità dell'immagine più grande di 1" implica che stiamo ragionando esclusivamente sui numeri x che non sono primi.

    D'altra parte, se supponessimo che le due immagini coincidono ma non coincidono i numeri, ciò vorrebbe dire che avremmo tra le immagini i due numeri stessi (in quanto divisori di sé stessi), ma cadremmo così in contraddizione con l'ipotesi immagini coincidenti.

    Va da sé, dunque, in riferimento al punto 4), che 222 ha immagine con cardinalità maggiore di 1 e quindi, in forza di quanto osservato al punto 3), essendo la relazione RF definita per coincidenza di immagini mediante F, l'unico elemento della classe di equivalenza di 222 è: 222, e basta.

    Così è più chiaro?

    Namasté!

    Risposta di Omega
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