Separazione delle variabili per le soluzioni non banali

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Mi spieghereste come separare le variabili nella seguente equazione differenziale? Devo determinarne le soluzioni non banali...in pratica la soluzione generale

 

y'=2xy?

Domanda di Erika

 
Soluzioni

  • Arrivo subito!

    Risposta di Alpha

  • Erika, prima di procedere, per regolamento, devo chiederti di chiudere la vecchia domanda, grazie!

    Risposta di Alpha

  • Ok fatto!

    Risposta di Erika

  • Grazie, allora, quella che vuoi risolvere è un'equazione differenziale a variabili separabili, si chiama così perché può essere risolta nel modo seguente:

     

    y^{\prime}=2xy

     

    scriviamo y'(x)=dy/dx:

     

    \frac{dy}{dx}=2xy

     

    cioè

     

    \frac{dy}{y}=2xdx

     

    Integriamo entrambi i membri dell'uguaglianza:

     

    \int\frac{dy}{y}=\int 2xdx

     

    \log(y)=x^2+c

     

    dove ho aggiunto la costante perché gli integrali sono indefiniti,

     

    y=e^{x^2+c}=e^ce^{x^2}=c_1 e^{x^2}

     

    dove ho posto

     

    e^c=c_1

    Risposta di Alpha

  • Volendo si potrebbe rappresentare graficamente?

    Risposta di Erika

  • La rappresentazione grafico non è una sola funzione, bensì una classe di funzioni:

     

    y=c_1\cdot e^{x^2}

     

    con c1 che varia tra i numeri reali.

    Risposta di Alpha
 
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