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  • Arrivo xavier310 :)

    Risposta di Alpha
  • Eccoci, siano V e W spazi vettoriali e

    T:V\to W

    un'applicazione lineare che ammette inversa

    S:W\to V

    Un'applicazione lineare che ammette inversa in particolare è biunivoca, cioè è iniettiva e suriettiva, quindi

    Im (T)=W \wedge \mbox{ker}(T)=0

    Anche S è iniettiva e suriettiva, perché anche lei è invertibile, quindi

    Im (S)=V \wedge \mbox{ker}(S)=0

    In particolare le applicazioni lineari mandano sottoinsiemi linearmente indipendenti di vettori del dominio in sottoinsiemi del codominio di vettori linearmente indipendenti. Dunque T manda una base di V in una base di Im(T), cioè manda una base di V in una base di W.

    Sia (v1,...,vn) una base di V, come sai i vettori di una base sono linearmente indipendenti, quindi, in forza di quanto abbiamo appena detto l'insieme {T(v1),...,T(vn)} è un sottoinsieme di vettori linearmente indipendenti di W.

    D'altra parte, dato che T è suriettiva le sue immagini devono essere l'intero spazio W, dunque (T(v1),...,T(vn)) deve essere una base per W. La cardinalità di {T(v1),...,T(vn)} è n, cioè la stessa di (v1,...,vn), poiché la dimensione di uno spazio vettoriale è data dal numero di vettori che ne compongono la base, deduciamo che dim(V)=dim(W).

    Risposta di Alpha
  • Tutto chiarissimo :)

    Risposta di xavier310
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