Invertibilità di un'applicazione lineare

Eccoci, siano V e W spazi vettoriali e

un'applicazione lineare che ammette inversa

Un'applicazione lineare che ammette inversa in particolare è biunivoca, cioè è iniettiva e suriettiva, quindi

Anche S è iniettiva e suriettiva, perché anche lei è invertibile, quindi

In particolare le applicazioni lineari mandano sottoinsiemi linearmente indipendenti di vettori del dominio in sottoinsiemi del codominio di vettori linearmente indipendenti. Dunque T manda una base di V in una base di Im(T), cioè manda una base di V in una base di W.

Sia (v₁,...,v_n) una base di V, come sai i vettori di una base sono linearmente indipendenti, quindi, in forza di quanto abbiamo appena detto l'insieme {T(v₁),...,T(v_n)} è un sottoinsieme di vettori linearmente indipendenti di W.

D'altra parte, dato che T è suriettiva le sue immagini devono essere l'intero spazio W, dunque (T(v₁),...,T(v_n)) deve essere una base per W. La cardinalità di {T(v₁),...,T(v_n)} è n, cioè la stessa di (v₁,...,v_n), poiché la dimensione di uno spazio vettoriale è data dal numero di vettori che ne compongono la base, deduciamo che dim(V)=dim(W).