Composizione di applicazioni lineari da R^3 a R^3

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Buongiorno! Volevo capire come funziona la composizione di applicazioni lineari e qual è il risultato di questa composizione. Come si fa a comporre due spazi vettoriali? Definiamo S,T: R^3 →  R^3 ponendo


S beginvmatrix x ; y ; z endvmatrix =   beginvmatrix x ; y ; 0 endvmatrix              T beginvmatrix x ; y ; z endvmatrix =   beginvmatrix x ; z ; 0 endvmatrix


Allora


(S circ T) beginvmatrix x ; y ; z endvmatrix =   beginvmatrix x ; z ; 0 endvmatrix ne  beginvmatrix x ; 0 ; 0 endvmatrix = (T circ S) beginvmatrix x ; y ; z endvmatrix

Domanda di xavier310

 
Soluzioni

  • Ciao Xavier310, quelli non sono spazi vettoriali, ma applicazioni lineari,

    S:R^3 → R^3

    T:R^3 → R^3

    La composizione

    S circ T

    significa che prima applichiamo a un vettore di R3 l'applicazione T, poi, al risultato applichiamo S.

    Allo stesso modo

    T circ S

    significa che prima applichiamo S poi T.

    Risposta di Alpha

  • Ok, ma non ben capito come si effettui l'applicazione. Puoi spiegarmi i passaggi?

    Risposta di xavier310

  • Sia (x,y,z) un vettore di R3 . Applichiamo T a questo vettore:

    T[x ; y ; z] = [x ; z ; 0]

    A parole possiamo dire che l'applicaizone T manda a zero la seconda componente, e poi scambia di posto la seconda con la terza.

    Ora applichiamo S all'immagine tramite T del vettore (x,y,z), cioè calcoliamo S(x,z,0):

    S[x ; z ; 0] = [x ; z ; 0]

    Infatti l'applicazione S lascia invariato l'ordine delle componenti, e manda a zero la terza, ma in questo caso la terza componente era già zero, dunque, S lascia invariato il vettore (x,z,0).

    Ora proviamo ad applicare le due applicazione al contrario, cioè applicheremo S al generico vettore (x,y,z), poi applicheremo T all'immagine S(x,y,z):

    S[x ; y ; z] = [x ; y ; 0]

    cioè l'applicazione S manda a zero la terza componente del vettore. Applichiamo T al vettore (x,y,0), abbiamo detto prima che T manda a zero la seconda componente, poi inverte seconda e terza componente:

    T[x ; y ; 0] = [x ; 0 ; 0]

    Ecco fatto!

    Risposta di Alpha

  • Perfetto. Grazie! Laughing

    Risposta di xavier310
 
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