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  • Ciao Giulialg88, il principio di induzione deriva direttamente dal quinto assioma di Peano...cosa significa che vuoi dimostrarlo? Se la seconda forma è l'induzione forte, allora è un principio di induzione con delle ipotesi più restrittive sull'assioma...ma dimostrare un assioma è per definizione impossibile!

    Sai, infatti che un assioma è un principio che viene assunto come vero. Di conseguenza non si discute nemmeno la sua veridicità, si accetta e basta. :)

    Risposta di Alpha
  • a noi invece fanno dimostrare Base e Passo....(l assioma di peano non l abbiamo mai fatto...) 

    il principio d'induzione che ci ha spiegato la professoressa è: sia Pn per ogni n€N una successione di proposizioni,se Pn è vera è vera anche Pn+1

    Risposta di Giulialg88
  • Questo è effettivamente il principio di induzione. Credo di avere capito dove sta il problema, abbi fiducia e leggi tutto fino alla fine, poi al massimo, mi dici che non ci ho preso! Wink

    Per applicare il principio di induzione a un teorema è necessario verificare due cose:

    La base induttiva e la veridicità del passo induttivo, facciamo un esempio:

     

    Prendiamo la somma dei numeri dispari consecutivi: 1+3+5+7+9+..., a mano possiamo osservare che 

     

    1^2=1

     

    2^2=1+3

     

    3^2=1+3+5

     

    4^2=1+3+5+7

     

    Per dimostrare in generale la validità di tale proprietà la cosa più sensata da fare è una dimostrazione per induzione.

     

    Viene naturale ipotizzare che la somma dei primi n numeri dispari sia proprio pari a n2.

    La base induttiva è il primo passo, e bisogna dimostrare che la nostra tesi è vera per il primo passo, altrimenti ha molto poco senso continuare.  In effetti dai casi che abbiamo elencato prima vediamo subito che al primo passo, cioè per n=1 la nostra tesi è verificata.

     

    Ora il passo induttivo: supponiamo il nostro asserto vero al passo n-esimo, dimostriamo che è vero al passo (n+1)-esimo.

     

    Se al passo n la nostra tesi è verificata, avremo che 

     

    n^2=1+3+\cdots  

     

    fino all'n-esimo numero dispari

     

    Dimostriamo che la tesi vale per n+1: dobbiamo mostrare che n+1 al quadrato coincide proprio con la somma dei primi n+1 numeri dispari.

    Sappiamo che

     

    (n+1)^2=n^2+2n+1

     

    Ma n2 per ipotesi induttiva è proprio uguale alla somma dei primi n numeri dispari, e 2n+1 è l'(n+1)-esimo numero dispari. 

    Dunque, per il principio di induzione possiamo dire che la nostra tesi è vera!

     

    Credo quindi, che la vostra professoressa non vi chieda di dimostrare il principio di induzione, ma vi abbia solo detto che perché il principio di induzione funzioni dovete procedere in questo modo:

     

    1) Verificare l'ipotesi induttiva, cioè verificare la validità dell'ipotesi al passo 1.

    2) Dimostrare che supponendo la tesi veri al passo n, questa è vera anche al passo n+1.

     

    Da qui, per il principio di induzione segue che la tesi è vera per ogni n!

    Risposta di Alpha
  • grazie =)

     

    Risposta di Giulialg88
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