Soluzioni
  • Ciao Cifratonda :)

    Innanzitutto rappresentiamo graficamente il nostro esagono, il quale è formato da un quadrato e da due triangoli isosceli congruenti che hanno come base due lati opposti del quadrato

     

    Esagono irregolare

     

    Dobbiamo trovare la misura dei lati obliqui dei triangoli isosceli

    AF=BF=DE=CE=?

    Sappiamo che il perimetro dell'esagono (che ovviamente non è un esagono regolare)

    2p_{ADECBF}=80 \mbox{ cm}

    e che il perimetro quadrato

    2p_{ABCD}=56 \mbox{ cm}

    Ora, dal perimetro del quadrato possiamo ricavare la misura del suo lato

    AD=BC=56:4=14 \mbox{ cm}

    Inoltre il perimetro dell'esagono è dato da

    2p_{ADECBF}=AD+DE+CE+BC+BF+FA=80 \mbox{ cm}

    Essendo

    \overline{AF}=\overline{BF}=\overline{DE}=\overline{CE}

    e sapendo che

    AD=BC=14 \mbox{ cm}

    Possiamo scrivere la relazione precedente come

    \underbrace{4\times AF}_{AF+BF+DE+CE} + \underbrace{14 +14}_{AD+BC} = 80 \mbox{ cm}

    da cui

    4\times AF=80-14-14=52 \mbox{ cm}

    AF=52:4 = 13 \mbox{ cm}

    che è la misura del lato obliquo dei nostri triangoli isosceli.

    -----------

    Rispondiamo ora alla domanda posta dal problema: l'esagono e il quadrato potrebbero avere lo stesso perimetro? Perchè?

    Esagono e quadrato sono isoperimetrici se

    2p_{ABCD}=2p_{ADECBF}

    ossia se

    AB+BC+CD+DA = AD+DE+EC+CB+BF+FA

    il che equivale a dire (eliminiamo i segmenti che compaiono sia a destra che a sinistra dell'uguale)

    AB+CD = DE+EC+BF+FA

    Ora a destra dell'uguale ci sono rimasti due lati del quadrato che sappiamo essere uguali; a sinistra abbiamo la somma dei 4 lati obliqui dei triangoli isosceli, anch'essi segmenti congruenti. Possiamo allora scrivere la relazione precedente come

    2\times AB = 4\times AF

    da cui

    AB = 2\times AF

    Questo ci porta a dire che quadrato ed esagono hanno lo stesso perimetro se il lato del quadrato è il doppio del lato obliquo dei triangoli isosceli. ;)

    Risposta di Galois
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