Risolvere triangolo rettangolo con teorema dei seni e del coseno

I dati a nostra disposizione sono la somma di due lati del triangolo

il terzo lato e l'angolo opposto al lato .

Per il teorema dei seni possiamo scrivere che

dove

è l'angolo opposto al lato b.

è l'angolo opposto al lato c.

Dalla relazione

ricaviamo 

mentre dalla relazione 

otteniamo

Ora è facile osservare che

Deriva dal fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Ora possiamo esprimere la somma dei lati a+b come

che a conti fatti ha come unica incognita l'angolo .

Facciamo intervenire le formule degli archi associati così da scrivere

Nell'ultimo passaggio è intervenuta anche la formula di addizione del seno.

Conseguentemente

diventa

Quella ottenuta è un'equazione lineare in seno e coseno, in cui l'incognita è l'angolo .

Una volta trovato possiamo determinare tramite la formula

.

Una volta trovati gli angoli puoi tranquillamente sostituire gli angoli ottenuti nelle relazioni (1) e (2) così da trovare i lati a e b. 

Manca l'area, che possiamo calcolare come semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell'angolo compreso, ad esempio:

Per approfondire leggi la lezione sulla formula dell'area di un triangolo con il seno.