Risolvere triangolo rettangolo con teorema dei seni e del coseno

Dopo aver affrontato il teoremi dei seni e il teorema di Carnot, e tutto quello che ne deriva, mi sono bloccato nel risolvere questo problema relativo ad un triangolo qualsiasi.

 

I dati di cui dispongo sono: la somma di 2 lati a+b, il terzo lato c e l'angolo α che per come costruisco il triangolo è l'angolo compreso tra a+b e c.

 

Problema trigonometrico risolvere un triangolo

In Superiori - Geometria - Domanda di Cat W

Soluzioni

  • I dati a nostra disposizione sono la somma di due lati del triangolo

    s=a+b

    il terzo lato c e l'angolo \alpha opposto al lato a.

    Per il teorema dei seni possiamo scrivere che

    \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}

    dove

    \bullet\,\,\beta è l'angolo opposto al lato b.

    \bullet\,\,\gamma è l'angolo opposto al lato c.

    Dalla relazione

    \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}

    ricaviamo 

    a=c\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\quad (1)

    mentre dalla relazione 

    \frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}

    otteniamo

    b=c\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\quad (2)

    Ora è facile osservare che

    \beta=\pi-(\alpha+\gamma)

    Deriva dal fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

    Ora possiamo esprimere la somma dei lati a+b come

    a+b=c\frac{\sin(\pi-(\alpha+\gamma))}{\sin(\gamma)}+c\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}

    che a conti fatti ha come unica incognita l'angolo \gamma.

    Facciamo intervenire le formule degli archi associati così da scrivere

    \sin(\pi-(\alpha+\gamma))=\sin(\alpha+\gamma)=\sin(\alpha)\cos(\gamma)+\cos(\alpha)\sin(\gamma)

    Nell'ultimo passaggio è intervenuta anche la formula di addizione del seno.

    Conseguentemente

    a+b=c\frac{\sin(\pi-(\alpha+\gamma))}{\sin(\gamma)}+c\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}

    diventa

    (a+b)\sin(\gamma)=c (\sin(\alpha)\cos(\gamma)+\cos(\alpha)\sin(\gamma)+\sin(\alpha))

    Quella ottenuta è un'equazione lineare in seno e coseno, in cui l'incognita è l'angolo \gamma.

    Una volta trovato \gamma possiamo determinare \beta tramite la formula

    \beta=\pi-(\alpha+\gamma).

    Una volta trovati gli angoli puoi tranquillamente sostituire gli angoli ottenuti nelle relazioni (1) e (2) così da trovare i lati a e b. 

    Manca l'area, che possiamo calcolare come semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell'angolo compreso, ad esempio:

    A=\frac{a\cdot c\sin(\beta)}{2}

    Per approfondire leggi la lezione sulla formula dell'area di un triangolo con il seno.

    Risposta di Ifrit
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