I dati a nostra disposizione sono la somma di due lati del triangolo
il terzo lato
e l'angolo
opposto al lato
.
Per il teorema dei seni possiamo scrivere che
dove
è l'angolo opposto al lato b.
è l'angolo opposto al lato c.
Dalla relazione
ricaviamo
mentre dalla relazione
otteniamo
Ora è facile osservare che
Deriva dal fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.
Ora possiamo esprimere la somma dei lati a+b come
che a conti fatti ha come unica incognita l'angolo
.
Facciamo intervenire le formule degli archi associati così da scrivere
Nell'ultimo passaggio è intervenuta anche la formula di addizione del seno.
Conseguentemente
diventa
Quella ottenuta è un'equazione lineare in seno e coseno, in cui l'incognita è l'angolo
.
Una volta trovato
possiamo determinare
tramite la formula
.
Una volta trovati gli angoli puoi tranquillamente sostituire gli angoli ottenuti nelle relazioni (1) e (2) così da trovare i lati a e b.
Manca l'area, che possiamo calcolare come semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell'angolo compreso, ad esempio:
Per approfondire leggi la lezione sulla formula dell'area di un triangolo con il seno.
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