Soluzioni
  • I dati a nostra disposizione sono la somma di due lati del triangolo

    s = a+b

    il terzo lato c e l'angolo α opposto al lato a.

    Per il teorema dei seni possiamo scrivere che

    (a)/(sin(α)) = (b)/(sin(β)) = (c)/(sin(γ))

    dove

    • , ,β è l'angolo opposto al lato b.

    • , ,γ è l'angolo opposto al lato c.

    Dalla relazione

    (a)/(sin(α)) = (c)/(sin(γ))

    ricaviamo 

    a = c(sin(α))/(sin(γ)) (1)

    mentre dalla relazione 

    (b)/(sin(β)) = (c)/(sin(γ))

    otteniamo

    b = c(sin(β))/(sin(γ)) (2)

    Ora è facile osservare che

    β = π-(α+γ)

    Deriva dal fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

    Ora possiamo esprimere la somma dei lati a+b come

    a+b = c(sin(π-(α+γ)))/(sin(γ))+c(sin(α))/(sin(γ))

    che a conti fatti ha come unica incognita l'angolo γ.

    Facciamo intervenire le formule degli archi associati così da scrivere

    sin(π-(α+γ)) = sin(α+γ) = sin(α)cos(γ)+cos(α)sin(γ)

    Nell'ultimo passaggio è intervenuta anche la formula di addizione del seno.

    Conseguentemente

    a+b = c(sin(π-(α+γ)))/(sin(γ))+c(sin(α))/(sin(γ))

    diventa

    (a+b)sin(γ) = c (sin(α)cos(γ)+cos(α)sin(γ)+sin(α))

    Quella ottenuta è un'equazione lineare in seno e coseno, in cui l'incognita è l'angolo γ.

    Una volta trovato γ possiamo determinare β tramite la formula

    β = π-(α+γ).

    Una volta trovati gli angoli puoi tranquillamente sostituire gli angoli ottenuti nelle relazioni (1) e (2) così da trovare i lati a e b. 

    Manca l'area, che possiamo calcolare come semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell'angolo compreso, ad esempio:

    A = (a·csin(β))/(2)

    Per approfondire leggi la lezione sulla formula dell'area di un triangolo con il seno.

    Risposta di Ifrit
 
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