Soluzioni
  • Ciao Ale91, ti rispondo subito!

    Risposta di Omega
  • Una funzione y=f(x) si dice derivabile in un punto x0 del suo dominio se esiste il limite del rapporto incrementale per x tendente ad x0:

    \lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}

    Cioè: una funzione è derivabile in un punto se esiste la sua derivata prima nel punto. (Suona bene, no? :))

    Questa è la definizione di derivabilità in un punto. Per la derivabilità in un intervallo, ti basta che la funzione sia derivabile in ogni punto dell'intervallo!

    Prova a leggere qui (rapporto incrementale), qui (definizione di derivata) e qui (funzione derivabile)

    Se vuoi, possiamo parlare anche di condizioni necessarie e di condizioni necessarie e sufficienti per la derivabilità.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Se nn ti spiace mi farebbe molto comodo.
    Risposta di ale91
  • Se hai presente la definizione di continuità di una funzione in un punto, per la derivabilità in un punto deve valere lo stesso, solo che anziché la funzione devi considerare il rapporto incrementale.

    In particolare: condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia derivabile in un punto è che esistano finiti i due limiti, sinistro e destro, del rapporto incrementale della funzione per x tendente ad x0.

    Se tali limiti esistono finiti e coincidono, il loro valore comune viene definito come derivata prima nel punto x0. Vale a dire:

    \lim_{x\to x_{0}^{-}}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_{0}^{+}}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

    Condizione necessaria per la derivabilità in un punto, invece, è che la funzione stessa sia continua nel punto. Attenzione: questa è una condizione necessaria, da sola non basta per avere la derivabilità!

    Puoi approfondire il discorso qui: relazione tra continuità e derivabilità.

    Namasté

    Risposta di Omega
  • Se nn ti dispiace, mi farebbe molto comodo!

    Risposta di ale91
  • scusa il computer mi ha dato problemi, nn mi ero accorta della risposta!

     

    Risposta di ale91
  • Omega ha già spiegato sopra quali siano le condizioni necessarie e sufficienti per la derivabilità...cosa ti farebbe comodo ora?

    Condizione necessaria e sufficiente: esistenza e coincidenza dei limiti destro e sinistro del rapporto incrementale nel punto. Se ti chiedono di stabilire se una funzione è derivabile devi verificare questa proprietà.

    Condizione necessaria: continuità della funzine nel punto. Questa proprietà non è sufficiente per dire che una funzione è derivabile in un punto, è soltanto necessaria, ma esistono funzioni continue, ma non derivabili, come, ad esempio la funzione valore assoluto

    |x|

    in x=0.

    Risposta di Alpha
  • ok :) non c'è problema!

    Risposta di Alpha
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