Soluzioni
  • Ciao Xavier310, stai usando LaTeX sempre meglio! Laughing Ottimo!

    Tra poco ti rispondo.

    Risposta di Omega
  • Vediamo di correggere la soluzione. Procedo passo passo:

    ---

    Soluzione: … dal teorema della dimensione deduciamo quindi dimImT=3;

     

    Corretto, perchè l'applicazione T è iniettiva avendo nucelo banale 

    Ker(T)=\{[0\mbox{ }0\mbox{ }0]^{T}\}

    quindi il nucleo ha dimensione 0, e per il teorema di nullità più rango l'immagine deve avere dimensione 3.

    ---

    ci basta allora trovare un sottospazio di Rdi dimensione 3 contenente R4 (Perché?) 

     

    Questo non penso sia proprio possibile...

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    Siccome si verifica subito che x ϵ ImT implica  x_1 + x_2 = x_4  (Da dove la ricava questa conclusione?)  il sottospazio 

    W= { x ϵ R4 | x1+x2-x4=0}  ha dimensione 3 e contiene ImT, per cui W=ImT (Perchè?)


    Dato che ci mancano un po' di passaggi prima di arrivare a questi, ti dico come svolgerei l'esercizio:

     

    - Il nucleo l'abbiamo già trovato, per quanto riguarda l'immagine di T è sufficiente sapere che ha dimensione 3 e, dato che conosciamo l'immagine del generico elemento

    [x_1\mbox{ }x_2\mbox{ }x_3] 

    ci basta riscrivere Tx come combinazione lineare di tre vettori linearmente indipendenti, nella fattispecie

    [1,1,0,1]^T\mbox{ }[1,-1,1,1]^T\mbox{ }[0,1,0,0]^T

     

    - Per trovare delle basi per

    T(U)\mbox{, }T(V)

    ti basta osservare che sia per U che per V hai un sistema di generatori linearmente indipendenti tra di loro, che quindi costituiscono una base di U e una base di V rispettivamente. Dunque prendendo le immagini dei vettori assegnati, in entrambi i casi, trovi due basi: una per T(U), una per T(V).

    [Chiaramente l'immagine dei vettori di una base è una base dell'immagine dell'applicazione lineare.]

     

    - Per trovare una base di 

    T(U)\cap T(V)

    hai già studiato la formula di Grassmann?

     

    Namasté!

    Risposta di Omega
    1.  il nucleo lo hai ricavato risolvendo il sistema omogeneo associato vero? (che in altri modi vuol dire che i tre vettori sono linearmente indipendenti giusto?)
    2. L' Im di T si trova in R4 pur avendo dimensione 3?
    3. (scusa ho sbagliato a scrivere) ci basta allora trovare un sottospazio di Rdi dimensione 3 contenente ImT (Perché?)

      4.  Da sove li hai ricavati i tre vettori linearmente indipendenti

      [1,1,0,1]^Tmbox{ }[1,-1,1,1]^Tmbox{ }[0,1,0,0]^T?

      5. E ancora non ho ben chiaro che:

      Siccome si verifica subito che x ϵ ImT implica  x_1 + x_2 = x_4  (Da dove la ricava questa conclusione?) 

      6. Comunque si ho studiato la formula, però come riesco a ricavare Dim(U+V) per poi trovare l'intersezione?

    Risposta di xavier310
  • Il nucleo lo hai ricavato risolvendo il sistema omogeneo associato vero? (che in altri modi vuol dire che i tre vettori sono linearmente indipendenti giusto?)

    Sì e sì.

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    L' Im di T si trova in R4 pur avendo dimensione 3?

    Certo. Una retta, ad esempio, ha sempre dimensione 1 ed esistono rette in R2, R3,...

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    (scusa ho sbagliato a scrivere) ci basta allora trovare un sottospazio di Rdi dimensione 3 contenente ImT (Perché?)

    Che cosa stai cercando di dimostrare in questo passaggio?

    ---

    4.  Da dove li hai ricavati i tre vettori linearmente indipendenti

    [1,1,0,1]^Tmbox{ }[1,-1,1,1]^Tmbox{ }[0,1,0,0]^T?

    Ho scritto la generica immagine dell'applicazione lineare come combinazione lineare a parametri

    x_1,x_2,x_3

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    5. E ancora non ho ben chiaro che:

    Siccome si verifica subito che x ϵ ImT implica  x_1 + x_2 = x_4  (Da dove la ricava questa conclusione?) 

    Anche qui, non so cosa sta ciercando di dimostrare. Avendo solamente un pezzo di uno svolgimento non posso dirti se è corretto o no. Lo svolgimento di un esercizio non è mai univoco!

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    6. Comunque si ho studiato la formula, però come riesco a ricavare Dim(U+V) per poi trovare l'intersezione?

    In realtà devi applicare la formula ai sottospazi dati dalle immagini:

    dim(T(U)+T(V))=dim(T(U))+dim(T(V))+dim(T(U)\cap T(V))

    Risposta di Omega
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