Soluzioni
  • Ciao kikka, iniziamo: come nel caso delle funzioni a una sola variabile, per calcolare il dominio dobbiamo discutere i vari pezzetti della funzione, ad ogni modo il metodo è descritto qui: dominio in due variabili.

    Iniziamo da 1)

    f(x,y)=\log_{2}{\frac{-x-y+2}{y-x-1}}

    in questo caso dobbiamo assicurarci di due cose: prima di tutto che il denominatore della frazione non si annulli e poi che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo.

    La differenza con lo studio del dominio di funzioni a una sola variabile è che in questo caso dovremo fare dei confronti grafici, infatti iniziamo a porre il denominatore diverso da zero:

    y-x-1\neq 0

    cioè

    y\neq x+1

    in sostanza stiamo escludendo la retta y=x+1 dal piano cartesiano (x,y).

    L'altra condizione che dobbiamo imporre è

    \frac{-x-y+2}{y-x-1}>0

    in questo caso dobbiamo comportarci come quando risolviamo una disequazione fratta, quindi studiamo il segno del numeratore e del denominatore:

    -x-y+2>0

    y-x-1>0

    a questo punto devi procedere con il metodo grafico per rappresentare le soluzioni di una disequazione nel piano.

    Come per le disequazioni fratte in una sola incognita dovrai considerare contemporaneamente i segni di numeratore e denominatore: ci interessa il segno globale della frazione, quindi questa è positiva se numeratore e denominatore sono positivi, ma anche quando sono entrambi contemporaneamente negativi.

    Per capire dove questo si verifica basta disegnare il piano cartesiano e le rette y=2-x e y=x+1. Fatto questo potrai accorgerti di come il dominio della funzione sia la regione compresa tra le due rette.

     


     

    Passiamo al secondo esercizio:

    g(x,y)=\sqrt[2]{\frac{4y^2+x}{2x+3y}}

    come prima dobbiamo calcolarne il dominio, bene, l'argomento della radice deve essere positivo o al più nullo, e il denominatore della frazione non deve annullarsi, quindi

    \frac{4y^2+x}{2x+3y}\geq 0

    2x+3y\neq 0

    La seconda condizione esclude una retta dal piano come prima, dovrai cancellare dal tuo piano cartesiano la retta y=(2/3)x, lo studio della disequazione è un po' più complicato, anche se il procedimento è identico a quella precedente:

    numeratore ≥0 :

    4y^2+x\geq 0

    x\geq -4y^2

    Denominatore >0 (ho tolto l'uguale, tanto non voglio che si annulli):

    2x+3y>0

    y>-\frac{2}{3}x

    Siccome il disegno in questo caso è più complicato ho pensato di includerlo, il tuo dominio è quello segnato nel grafico con i +:

    Il grafico di funzioni a due variabili è dato da superfici e generalmente non è richiesto, la sua realizzazione è abbastanza complessa, per cosa ne hai bisogno?

    Alpha

    Risposta di Alpha
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