descrivere un sottospazio vettoriale?

che differenza c'è nel descrivere un sottospazio vettoriale tramite parametrizzazione  e tramite equazioni? Potete farmi 2 esempi?

In Uni - Algebra Lineare - Domanda di xavier310

Soluzioni

  • Arrivo xavier310...

    Risposta di Alpha

  • Una parametrizzazione è una funzione che descrive una curva, ad esempio, se tu volessi descrivere un'ellisse potresti farlo in modo standard, con le coordinate cartesiane utilizzando l'equazione

     

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

    Oppure tramite una parametrizzazione:

     

    \varphi:[0,2\pi)\to\mathbb{R}^2

     

    \theta\mapsto (a\cos\theta, b\sin\theta)

     

    Quindi nel primo caso vediamo l'ellisse come funzione delle due coordinate (x,y), nel secondo caso invece vediamo l'ellisse come la traiettoria percorsa da un punto spostato attraverso la funzione continua φ. Tale funzione si chiama parametrizzazione.

    Risposta di Alpha

  • Scusami ma non ho ben chiaro come possano essere equivalenti i due modi di definire un sottospazio vettoriale?

    Risposta di xavier310

  • Si...immaginiamo una retta in R3. Con equazione parametrica

     

    \left\{\begin{matrix}x=1-t\\y=2+3t\\z=3-5t\end{matrix}

     

    Questa è un sottospazio vettoriale di dimensione 1 di R3. Per riscrivere questa retta in coordinate cartesiane, cioè in funzione di x, y e z, si procede in questo modo:

     

    \left\{\begin{matrix}t=1-x\\y=\frac{y-2}{3}\\t=\frac{3-z}{5}\end{matrix}

     

    da cui ricaviamo

     

    \left\{\begin{matrix}3x+y-5=0\\5y+3x-19=0\end{matrix}

     

    che sono proprio i due piani che hanno come intersezione la retta di cui abbiamo dato equazione parametrica all'inizio.

    Dunque se Ax=b è un sistema di equazioni cartesiane, (che descrive un sottospazio W di uno spazio vettoriale V), trovando una soluzione particolare del sistema omogeneo Ax=b, sia x0, e una base dello spazio delle soluzioni di Ax=0, sia {v1,...,vk} allora l'equazione

     

    x=t_1v_1+\ldots +t_kv_k+x_0

     

    è un sistema di equazioni parametriche per il sottospazio W.

    Questo risultato discende dal teorema di Rouché-Capelli di cui abbiamo parlato qui

     

     

    Risposta di Alpha
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