Arrivo xavier310...
Una parametrizzazione è una funzione che descrive una curva, ad esempio, se tu volessi descrivere un'ellisse potresti farlo in modo standard, con le coordinate cartesiane utilizzando l'equazione
Oppure tramite una parametrizzazione:
Quindi nel primo caso vediamo l'ellisse come funzione delle due coordinate (x,y), nel secondo caso invece vediamo l'ellisse come la traiettoria percorsa da un punto spostato attraverso la funzione continua φ. Tale funzione si chiama parametrizzazione.
Scusami ma non ho ben chiaro come possano essere equivalenti i due modi di definire un sottospazio vettoriale?
Si...immaginiamo una retta in R3. Con equazione parametrica
Questa è un sottospazio vettoriale di dimensione 1 di R3. Per riscrivere questa retta in coordinate cartesiane, cioè in funzione di x, y e z, si procede in questo modo:
da cui ricaviamo
che sono proprio i due piani che hanno come intersezione la retta di cui abbiamo dato equazione parametrica all'inizio.
Dunque se Ax=b è un sistema di equazioni cartesiane, (che descrive un sottospazio W di uno spazio vettoriale V), trovando una soluzione particolare del sistema omogeneo Ax=b, sia x0, e una base dello spazio delle soluzioni di Ax=0, sia {v1,...,vk} allora l'equazione
è un sistema di equazioni parametriche per il sottospazio W.
Questo risultato discende dal teorema di Rouché-Capelli di cui abbiamo parlato qui
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