Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione esponenziale

    4^x=4^{x-2}+27

    Per poterla esprimere in forma normale, possiamo avvalerci della proprietà delle potenze:

    a^{b-c}=\frac{a^b}{a^c}\ \ \ \mbox{con}\ a\ne 0

    che ci permette di riscrivere l'equazione nella forma

    \\ 4^{x}=\frac{4^{x}}{4^2}+27 \\ \\ \\ 4^{x}=\frac{4^{x}}{16}+27

    Trasportiamo il termine esponenziale in base 4 al primo membro

    4^{x}-\frac{4^{x}}{16}=27

    da cui, mettendo in evidenza 4^{x}

    \\ 4^{x}\left(1-\frac{1}{16}\right)=27 \\ \\ \\ 4^{x}\cdot\frac{15}{16}=27

    A questo punto isoliamo l'esponenziale al primo membro moltiplicando a destra e a sinistra per \frac{16}{15}

    4^{x}=\frac{16}{15}\cdot 27

    Purtroppo il membro di destra non può essere espresso come una potenza di base 4 e esponente razionale, per cui siamo costretti a utilizzare i logaritmi. Più esplicitamente, se applichiamo il logaritmo in base 4 a destra e a sinistra, ricaviamo

    \log_{4}(4^{x})=\log_{4}\left(\frac{16}{15}\cdot 27\right)

    vale a dire

    x=\log_{4}\left(\frac{16}{15}\cdot 27\right)=\log_{4}\left(\frac{16}{5}\cdot 9\right)

    Il valore ottenuto rappresenta la soluzione dell'equazione data, però è opportuno precisare che sfruttando le proprietà dei logaritmi, possiamo semplificare il risultato.

    \\ \log_{4}\left(\frac{16}{5}\cdot 9\right)=\log_{4}\left(\frac{16}{5}\right)+\log_{4}(9)= \\ \\ \\ =\log_{4}(16)-\log_{4}(5)+\log_{4}(9)=\\ \\ =\log_{4}(4^2)-\log_{4}(5)+\log_{4}(3^2)=2-\log_{4}(5)+2\log_{4}(3)

    Volendo potremmo addirittura utilizzare la formula del cambiamento di base dei logaritmi così da esprimere il risultato in termini di logaritmi in base 10. Basta osservare infatti che:

    \\ \log_{4}(5)=\frac{\mbox{Log}(5)}{\mbox{Log}(4)}=\frac{\mbox{Log}(5)}{2\mbox{Log}(2)} \\ \\ \\ \log_{4}(3)=\frac{\mbox{Log}(3)}{\mbox{Log}(4)}=\frac{\mbox{Log}(3)}{2\mbox{Log}(2)}

    di conseguenza

    \\ 2-\log_{4}(5)+2\log_{4}(3)=2-\frac{\mbox{Log}(5)}{2\mbox{Log}(2)}+2\cdot\frac{\mbox{Log}(3)}{2\mbox{Log}(2)}= \\ \\ \\ = 2+\frac{2\mbox{Log}(3)-\mbox{Log}(5)}{2\mbox{Log}(2)}

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Algebra