Soluzioni
  • In generale per calcolare il limite di una funzione razionale fratta per x che tende a meno infinito occorre considerare esclusivamente i monomi del numeratore e del denominatore che hanno il grado maggiore: gli altri termini possono essere tranquillamente trascurati.

    Se applichiamo questa regola al limite

    lim_(x → -∞)(x^4+3x^3-27x+5)/(2x^3+4x-1) =

    ricaviamo

     = lim_(x → -∞)(x^4)/(2x^3) = lim_(x → -∞)(x)/(2) = -∞

    Il limite è -∞.

    Si noti che abbiamo applicato implicitamente effettuato un confronto tra infiniti: nel caso in cui non fosse stato presentato a lezione, il limite potrebbe essere risolto come segue:

    lim_(x → -∞)(x^4+3x^3-27x+5)/(2x^3+4x-1) =

    Mettiamo in evidenza x^4 al numeratore e x^3 al denominatore

    = lim_(x → -∞)(x^4(1+(3)/(x)-(27)/(x^2)+(5)/(x^4)))/(x^3(2+(4)/(x^2)-(1)/(x^3))) =

    dopodiché semplifichiamo x^4 e x^3

    = lim_(x → -∞)(x(1+(3)/(x)-(27)/(x^2)+(5)/(x^4)))/(2+(4)/(x^2)-(1)/(x^3)) =

    Scriviamo il limite del prodotto come prodotto di limiti

    = lim_(x → -∞)x·lim_(x → -∞)(1+(3)/(x)-(27)/(x^2)+(5)/(x^4))/(2+(4)/(x^2)-(1)/(x^3)) = [-∞·(1)/(2)] = -∞

    il risultato è -∞ per l'algebra degli infiniti perché il primo limite è meno infinito, mentre il secondo limite è (1)/(2), giacché i termini che hanno una potenza di x al denominatore tendono a zero per x che tende a -∞.

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
 
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