Determinare il limite di una funzione razionale fratta

Question

Mi servirebbe una mano per risolvere un limite di una funzione razionale fratta per x che tende a meno infinito. La mia insegnante mi ha suggerito di mettere in evidenza i termini con l'esponente più alto e semplificare, però non ho capito come farlo. Calcolare il seguente limite lim_(x → -∞)(x^4+3x^3-27x+5)/(2x^3+4x-1) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

In generale per calcolare il limite di una funzione razionale fratta per x che tende a meno infinito occorre considerare esclusivamente i monomi del numeratore e del denominatore che hanno il grado maggiore: gli altri termini possono essere tranquillamente trascurati. Se applichiamo questa regola al limite lim_(x → -∞)(x^4+3x^3-27x+5)/(2x^3+4x-1) = ricaviamo ; = lim_(x → -∞)(x^4)/(2x^3) = lim_(x → -∞)(x)/(2) = -∞ Il limite è-∞. Si noti che abbiamo applicato implicitamente effettuato un confronto tra infiniti: nel caso in cui non fosse stato presentato a lezione, il limite potrebbe essere risolto come segue: lim_(x → -∞)(x^4+3x^3-27x+5)/(2x^3+4x-1) = Mettiamo in evidenza x^4 al numeratore e x^3 al denominatore = lim_(x → -∞)(x^4(1+(3)/(x)-(27)/(x^2)+(5)/(x^4)))/(x^3(2+(4)/(x^2)-(1)/(x^3))) = dopodiché semplifichiamo x^4 e x^3 = lim_(x → -∞)(x(1+(3)/(x)-(27)/(x^2)+(5)/(x^4)))/(2+(4)/(x^2)-(1)/(x^3)) = Scriviamo il limite del prodotto come prodotto di limiti = lim_(x → -∞)x·lim_(x → -∞)(1+(3)/(x)-(27)/(x^2)+(5)/(x^4))/(2+(4)/(x^2)-(1)/(x^3)) = [-∞·(1)/(2)] = -∞ il risultato è-∞ per l'algebra degli infiniti perché il primo limite è meno infinito, mentre il secondo limite è (1)/(2), giacché i termini che hanno una potenza di x al denominatore tendono a zero per x che tende a-∞. Ecco fatto.