Soluzioni
  • Per risolvere il sistema di equazioni non lineari

    \begin{cases}4x^3-y+4xy^2=0\\ 4x^2y+4y^3-x=0\\ 2z=0\end{cases}

    usiamo il metodo di riduzione: esso prevede di sostituire un'equazione del sistema con quella che si ottiene sommando o sottraendo a essa una delle altre equazioni.

    Sostituiamo, ad esempio, la seconda equazione con quella che si ottiene sottraendo questa con la prima

    \begin{cases}4x^3-y+4xy^2=0\\ 4x^2y+4y^3-x-(4x^3-y+4xy^2)=0\\ 2z=0\end{cases}

    Se sommiamo i monomi simili, il sistema si semplifica in

    \begin{cases}4x^3-y+4xy^2=0\\ 4x^2y+4y^3-x-4x^3+y-4xy^2=0\\ 2z=0\end{cases}

    Concentriamoci momentaneamente sulla seconda equazione

    4x^2y+4y^3-x-4x^3+y-4xy^2=0

    e ordiniamo i termini in questo modo

    \\ 4y^3-4x^3+4x^2y-4xy^2-x+y=0\\ \\ 4(y^3-x^3)+4(x^2y-xy^2)-(x-y)=0

    Scomponiamo la differenza di cubi e mettiamo in evidenza xy tra i termini x^2y \ \mbox{e} \ xy^2

    4(y-x)(y^2+xy+x^2)+4xy(x-y)-(x-y)=0

    A questo punto raccogliamo il fattore comune y-x

    (y-x)[4(y^2+x y+x^2)-4xy+1]=0

    e portiamo a termine i calcoli

    (y-x)[4y^2+4x^2+1]=0

    Sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, che permette di spezzare l'equazione nelle seguenti:

    y-x=0 \ \ \ \to \  \ y=x

    e

    4y^2+4x^2+1=0

    Quest'ultima non ammette soluzioni perché il primo membro è positivo per ogni x,y\in\mathbb{R}.

    Queste considerazioni consentono di affermare che il sistema

    \begin{cases}4x^3-y+4xy^2=0\\ 4x^2y+4y^3-x-4x^3+y-4xy^2=0\\ 2z=0\end{cases}

    è equivalente al seguente

    \begin{cases}4x^3-y+4xy^2=0\\y=x\\ 2z=0\end{cases}

    Sostituiamo y=x nella prima equazione e svolgiamo i calcoli

    \\ \begin{cases}4x^3-x+4x\cdot x^2=0\\y=x\\ 2z=0\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}8x^3-x=0\\y=x\\ z=0\end{cases}

    L'equazione 8x^3-x=0 è nella sola incognita x. Le sue soluzioni si ottengono mettendo in evidenza x e sfruttando nuovamente la legge di annullamento del prodotto

    x(8x^2-1)=0

    da cui

    x=0 \ \ \ \vee \ \ \ 8x^2-1=0

    La prima è praticamente risolta; la seconda è invece un'equazione di secondo grado pura, soddisfatta da

    x=\pm\frac{1}{\sqrt{8}}=\pm\frac{1}{2\sqrt{2}}

    A x=0 associamo la soluzione

    (x,y,z)=(x,x,0)=\left(0,0,0\right)

    A x=-\frac{1}{2\sqrt{2}} associamo invece

    (x,y,z)=(x,x,0)=\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}},-\frac{1}{2\sqrt{2}},0\right)

    A x=\frac{1}{2\sqrt{2}} associamo infine la soluzione

    (x,y,z)=(x,x,0)=\left(\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}},0\right)

    Possiamo in definitiva concludere che il sistema è soddisfatto dalle triple

    \\ (x,y,z)=(0,0,0) \\ \\ (x,y,z)=\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}},-\frac{1}{2\sqrt{2}},0\right) \\ \\ \\  (x,y,z)=\left(\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}},0\right)

    È fatta.

    Risposta di Ifrit
 
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