Soluzioni
  • Ciao Rossella, tra poco ti rispondo...

    Risposta di Omega
  • Per risolvere questo limite, dobbiamo ricorrere all'utilizzo dei limiti notevoli e al confronto tra infinitesimi.

    In particolare, abbiamo che, per x tendente a zero:

    (1-\cos{(x)})\sim \frac{1}{2}x^2

    \tan{(x)}\sim x

    mentre a denominatore abbiamo delle potenze frazionarie di x (le radici). Non resta che riscrivere il limite con gli equivalenti asintotice delle singole funzioni:

    \lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2}x^3+5x}{2x^\frac{2}{3}-x^{\frac{1}{3}}}}

    e sia a numeratore che a denominatore dobbiamo prendere gli infinitesimi "più grandi" (quelli più lontani da zero, cioè quelli con esponente più piccolo). La frazione è asintoticamente equivalente a

    \lim_{x\to 0}{\frac{5x}{-x^{\frac{1}{3}}}}=0

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Potrei arrivare alla soluzione senza utilizzare confronto tra infinitesimi e equivalenti asintotici? Per esempio utilizzando solo i limiti notevoli, o in qualche altro modo. Potresi accenarmi a una proceura diversa? Grazie :)

    Risposta di rossella
  • Senza il confronto tra infinitesimi?

    Puoi fare la strada più lunga, che è semplicemente ciò che motiva il confronto tra infinitesimi, e con semplici calcoli algebrici raccogliere la x di minimo grado sia a numeratore che a denominatore, dopo aver applicato i limiti notevoli.

    Cioè:

    \lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2}x^3-5x}{2x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}}}=\lim_{x\to 0}{\frac{x\left(\frac{1}{2}x^2-5\right)}{x^{\frac{1}{3}}\left(2x^{\frac{1}{3}}-1\right)}}

    Quindi all'interno delle parentesi non devi fare altro che passare al limite, ti restano due numeri. Confronta le potenze della x che hai raccolto, semplifica, e ci sei.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • x/x1/3= x2/3  ??

    Risposta di rossella
  • Naturalmente, dunque se x tende a zero

    x^{\frac{2}{3}}\cdot (5)

    tende a zero.

    Risposta di Omega
 
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