Limite fratto con coseno e tangente

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Dovrei risolvere un limite che coinvolge il coseno e la tangente. In teoria avrei dovuto spezzare il limite nella somma di limiti e usare un opportuno limite notevole. Potreste aiutarmi?

 

Calcolare il seguente limite

 

lim_(x → 0)((1-cos(x))tan(x)+5x)/(x)

 

Grazie.

Domanda di rossella

 
Soluzioni

  • Il limite

    lim_(x → 0)((1-cos(x))tan(x)+5x)/(x) =

    genera una forma indeterminata del tipo [(0)/(0)]. Per scioglierla distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore

    = lim_(x → 0)[((1-cos(x))tan(x))/(x)+(5x)/(x)] = lim_(x → 0)[((1-cos(x))tan(x))/(x)+5] =

    dopodiché spezziamo il limite nella somma di limiti

    = lim_(x → 0)((1-cos(x))tan(x))/(x)+lim_(x → 0)5 = lim_(x → 0)(1-cos(x))(tan(x))/(x)+lim_(x → 0)5

    A questo punto sfruttiamo il limite notevole della tangente

    lim_(x → 0)(tan(x))/(x) = 1

    grazie al quale la somma dei limiti

    lim_(x → 0)(1-cos(x))(tan(x))/(x)+lim_(x → 0)5 =

    diventa

    = lim_(x → 0)(1-cos(x))+lim_(x → 0)5 = 0+5 = 5

    Finito!

    Risposta di Ifrit
 
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