Limite fratto con coseno e tangente

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Dovrei risolvere un limite che coinvolge il coseno e la tangente. In teoria avrei dovuto spezzare il limite nella somma di limiti e usare un opportuno limite notevole. Potreste aiutarmi?

 

Calcolare il seguente limite

 

\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos(x))\tan(x)+5x}{x}

 

Grazie.

Domanda di rossella

 
Soluzioni

  • Il limite

    \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos(x))\tan(x)+5x}{x}=

    genera una forma indeterminata del tipo \left[\frac{0}{0}\right]. Per scioglierla distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore

    \\ =\lim_{x\to 0}\left[\frac{(1-\cos(x))\tan(x)}{x}+\frac{5x}{x}\right]= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\left[\frac{(1-\cos(x))\tan(x)}{x}+5\right]=

    dopodiché spezziamo il limite nella somma di limiti

    \\ =\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos(x))\tan(x)}{x}+\lim_{x\to 0}5= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}(1-\cos(x))\frac{\tan(x)}{x}+\lim_{x\to 0}5

    A questo punto sfruttiamo il limite notevole della tangente

    \lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)}{x}=1

    grazie al quale la somma dei limiti

    \lim_{x\to 0}(1-\cos(x))\frac{\tan(x)}{x}+\lim_{x\to 0}5=

    diventa

    =\lim_{x\to 0}(1-\cos(x))+\lim_{x\to 0}5=0+5=5

    Finito!

    Risposta di Ifrit
 
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