Chiarimenti vari su funzioni inverse e funzioni composte

Ciao Povi,

1) g(y)=x quindi g=f^-1 ma non riesco a capire che vuol dire !

Se hai una funzione y=f(x) reale di variabile reale, e se questa è invertibile, la funzione inversa è l'applicazione che associa ad y la x tale che y=f(x). In parole povere percorre il cammino inverso rispetto alla funzione f, e si indica con g=f ^-1. Quet'ultima è una notazione, ovvero un modo standard per indicare la funzione inversa di f. E' solamente un nome.

Delle funzioni inverse e dell'invertibilita ne parliamo nelle lezioni sulle funzioni da R a R in generale.

2)Riguardo alle funzioni composte ho scritto : (f o g)(x)=g(f(x))

Il cerchietto è un modo per indicare, in simboli, la composizione di funzione. Ne parliamo in particolare nella lezione composizione di funzioni reali di variabile reale (nel dettaglio!).

3) Teorema : Data f:x-->y se esiste la funzione g: y-->x tale che

(g o f) x-->x : gof= identità di x

e

(f o g) y-->y : fog= identità di y

allora la funzione è biettiva e g coincide con f^-1 (g=f^-1)

La funzione identità è la funzione che associa ad un numero reale sè stesso, e si rappresenta nel piano cartesiano con la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Il teorema ti dice, in soldoni, che data una funzione reale y=f(x) se esiste una funzione x=g(y) che ha il comportamento inverso della f

(questa ipotesi è l'espressione a parole di

g o f (x) = Id(x) = x   e

f o g (y) =Id(y) = y  )

allora la funzione è necessariamente biettiva e la g è in particolare la funzione inversa di f. Dico e sottolineo necessariamente perchè la biettività è condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità.

Ripeto l'enunciato come se stessimo parlando al bar: se hai una funzione f e hai una funzione che si comporta esattamente al contrario di f, allora quella funzione g è la funzione inversa di f e in particolare la funzione f è biunivoca (altrimenti non potrebbe essere invertibile!).

Ti consiglio, se posso, di leggere qualcuna delle nostre lezioni. Le abbiamo calibrate proprio per superare le difficoltà che il linguaggio matematico può comportare. Sono piene di esempi, e sono molto discorsive.

Se hai altre domande, non esitare!

Namasté - Agente Ω

Ok. La prima e la terza risposte ci sono arrivato però vorrei una conferma sulla seconda domanda:

consideriamo f: x-->y e g-->z  f o g :x-->z

quindi abbiamo z=g(y), a sua volta y=f(x) e poi viene che z=g(f(x)) e allora in definitiva z non è altro che fog??

e poi se (f o g)(x)=g(f(x))

g(f(x)) è uguale a g(y)?e g(y) è uguale a x? Quindi non fa altro che prendere la variabile ed associare la stessa variabile?

scusate per l'errore volevo dire

f: x-->y e g: y-->z  f o g :x-->z

No, abbiamo che y=f(x) prima e z=g(y) poi.  La composizione z=g(f(x)) è una funzione da x→y→z.

g o f è una funzione che a partire dalle x assume valori z.

Quello che devi tenere a mente è il comportamento della funzione, o meglio la legge che essa descrive.

Ora, certamente g(f(x)) è uguale a g(y). Perchè y è l'immagine, o più semplicemente, il punto di arrivo della funzione y=f(x). Tale punto di arrivo è il punto di partenza della funzione z=g(y).

Non devi però focalizzarti solo sui nomi delle variabili, piuttosto devi pensare che sono variabili. In parole povere, se la g è la funzione inversa della f, allora applicandola a y (il valore dato da y=f(x) ) ottieni z=g(f(y)), e questa z è proprio x [ribadisco: se la g è la funzione inversa di f].

E quindi, sì: la composizione di una funzione con la sua inversa prende una variabile e la risputa fuori tale e quale.

So che leggere è noioso e chiedere è più semplice, ma rinnovo il consiglio: leggi la lezione sulla composizione di funzioni...

Namasté - Agente Ω

Grazie mille per l'aiuto ora le idee sono molto più chiare ! Accetterò il tuo consiglio e vedrò di leggere meglio le lezioni. Grazie ancora