Equazione esponenziale con radice cubica

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Avrei bisogno del vostro aiuto con un'equazione esponenziale con una radice cubica. Pensavo di aver compreso come si risolvono, però il risultato non torna.

 

Risolvere la seguente equazione esponenziale

 

[3]√(7^x) = 5

 

Grazie.

Domanda di

 
Soluzioni

  • L'equazione esponenziale

    [3]√(7^x) = 5

    si risolve prima di tutto eliminando la radice cubica: basta elevare entrambi i membri al cubo.

    7^(x) = 5^3

    Osserviamo che non dovevamo imporre alcuna condizione di esistenza perché l'indice della radice è dispari, inoltre sottolineiamo che 5^3 non può essere espresso elementarmente come una potenza in base 7, ecco perché nella risoluzione saremo costretti a utilizzare il logaritmo.

    Applicando infatti il logaritmo in base 7 a destra e a sinistra dell'uguale, otteniamo:

    log_(7)(7^(x)) = log_(7)(5^3) ; x = log_(7)(5^3)

    ossia, per le proprietà dei logaritmi

    x = 3log_(7)(5)

    Se volessimo esprimere il risultato in base 10, è sufficiente usare la formula del cambiamento di base:

    log_(a)(b) = (log_(c)(b))/(log_(c)(a))

    Nel caso in esame:

    x = 3log_(7)(5) = 3·(log_(10)(7))/(log_(10)(5))

    L'insieme delle soluzioni dell'equazione è quindi

    S = 3·(log_(10)(7))/(log_(10)(5))

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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