Soluzioni
  • L'equazione esponenziale

    \sqrt[3]{7^x}=5

    si risolve prima di tutto eliminando la radice cubica: basta elevare entrambi i membri al cubo.

    7^{x}=5^3

    Osserviamo che non dovevamo imporre alcuna condizione di esistenza perché l'indice della radice è dispari, inoltre sottolineiamo che 5^3 non può essere espresso elementarmente come una potenza in base 7, ecco perché nella risoluzione saremo costretti a utilizzare il logaritmo.

    Applicando infatti il logaritmo in base 7 a destra e a sinistra dell'uguale, otteniamo:

    \\ \log_{7}(7^{x})=\log_{7}(5^3) \\ \\ x=\log_{7}(5^3)

    ossia, per le proprietà dei logaritmi

    x=3\log_{7}(5)

    Se volessimo esprimere il risultato in base 10, è sufficiente usare la formula del cambiamento di base:

    \log_{a}(b)=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}

    Nel caso in esame:

    x=3\log_{7}(5)=3\cdot\frac{\log_{10}(7)}{\log_{10}(5)}

    L'insieme delle soluzioni dell'equazione è quindi

    S=\left\{3\cdot\frac{\log_{10}(7)}{\log_{10}(5)}\right\}

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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